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离散数学
逻辑和证明

命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：∧、∨、→、↔、¬。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“¬p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。
构造真值表
p
q
p∧q
p∨q
p→q
p↔q
p⊙q
¬p
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
F
T
T
F
T

系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。

逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q，证永真式是通过p推导出T。
逻辑等价式
p∧T ⇔ p
p∨F ⇔ p
恒等律
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p∧F ⇔ F
p∨T ⇔ T
支配律
p∧p ⇔ p
幂等律
¬(¬P) ⇔ p
双否律
p∧q ⇔ q∧p
交换律
(p∧q)∧r ⇔ p∧(q∧r)
结合律
p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
分配律
¬(p∧q) ⇔¬p∨¬q
¬(p∨q) ⇔¬p∧¬q
德摩根律
p∨(p∧q) ⇔ p
P∧(p∨q) ⇔ p
吸收律
p∧¬p ⇔ F
p∨¬p ⇔ T
否定律
条件命题等价式
p→q ⇔¬p∨q
p→q ⇔¬q→¬p
p∨q ⇔¬p→q
p∧q ⇔¬(p→¬q)
¬(p→q) ⇔p∧¬q
(p→q)∧(p→r) ⇔ p→(q∧r)
(p→r)∧(q→r) ⇔ (p∨q)→r
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(p→q)∨(p→r) ⇔ p→(q∨r)
(p→r)∨(q→r) ⇔ (p∧q)→r
双条件命题等价式
p↔q ⇔ (p→q)∧(q→p)
p↔q ⇔¬p↔¬q
p↔q ⇔ (p∧q)∨(¬p∧¬q)
¬(p↔q) ⇔ p↔¬q

谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。
量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。

我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。

一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证不代表结论正确，因为也许有的前提是假的。
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