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统计学复习
统计学的主要原理如下:
我们感兴趣的研究对象的全体为“总体”(population),其中的每个研究对象为“个体”。由于总体包含的个体可能很多,无法进行“普查”,故需要从总体中抽取部分个体,称为“样本”(sample),而样本中包含个体的数目称为“样本容量”(sample size)。抽取样本的过程称为“抽样”。
通常希望样本为“随机样本”(random sample),即总体中的每个个体都有相同的概率被抽中,而且被抽中的概率相互独立,即满足“独立同分布”(independently identically distributed,.)的假定。
由于样本来自总体,必然带有总体的信息。统计学的关键因素是如何使得样本抽样信息最大程度反映出总体信息。因此,统计学是根据样本数据对总体性质进行推断的科学。
统计推断的主要内容有参数估计、假设检验及置信区间等。
总体均值的估计
如何估计出总体均值?
方法1:利用样本均值。
方法2:取第一个观测值Y1。
在众多可能的估计量中如何评价一个估计量比另外一个“更好”?由于估计量是随机变量,因而这个问题可以更准确地描述为估计量的抽样分布有哪些优良性质?一般而言,我们喜欢估计量与未知真值至少在某种平均意义下尽可能靠近,换言之,我们喜欢估计量的抽样分布尽可能紧密地集中在未知值周围。由此可得估计量的三个特殊优良特性:无偏性(没有偏差)、相合性(一致性)和有效性。
估计量的优良性准则
评价一个估计量的好坏, 不能仅仅依据一次试验的结果, 而必须由多次试验结果来衡量.
这是因为估计量是样本的函数, 是随机变量. 因此, 由不同的观测结果, 就会求得不同的参数估计值. 因此一个好的估计, 应在多次试验中体现出优良性.
无偏性
假设你利用重复随机样本多次计算估计量的值。自然希望,平均而言你会得到正确答案。于是估计量的一个优良性质是其抽样分布的均值等于uY。如果满足这一点,则我们称这个估计量是无偏的。
即:估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。
估计量是随机变量, 对于不同的样本值会得到不同的估计值. 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动, 而它的期望值等于未知参数的真值。这就导致无偏性这个标准.
无偏性
则称为的无偏估计.
设
是未知参数的估计量,若