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利用导数证明不等式
动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、，不等式的证明方法有，作差法，作商法，数学
归纳法，分子有理化，平方转化，利用基本不等式，本文介绍有关数列不等式的证明，
用导数证明函数的单调性，给X赋值代入
题型一 ：利用不等式
背景知识：，
例1 求证：
证明：在不等式中令，
，可得个不等式，相加可以得证。
求证：，时，
证明：，∴
求证：
证明 ，令，则有，
变形为，
4记，证明：不等式
,,,令
用代替中的中的：可得 令取得 ，令，
2
则，

故
题型二 利用不等式 ：
例：求证：
令，
当时，
当时，，
题型三 利用不等式
求证：
证明：令，得，
即
所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到
求证：
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由得，即，
令，，，，
将上述各式相加得
，
题型四 利用不等式 求证：对任意正整数，
证明：令，则在上恒正，
所以函数在上单调递增，∴时，恒有
即，∴
对任意正整数n，取
证明不等式（2007山东理 22）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，
．当时，，
即在上恒成立，当时，，
当时，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，有两个相同的解，
时，，时，，
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时，函数在上无极值点．
③当时，有两个不同解，，，
时，，，即，．
时，，随的变化情况如下表：
极小值
由此表可知：时，有惟一极小值点，
当时，，，
此时，，随的变化情况如下表：
极大值
极小值
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：
时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点．
（Ⅲ）当时，函数，
令函数，
则．
当时，，所以函数在上单调递增，
又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
对任意正整数取，则有．所以结论成立．
证明不等式;
（2012辽宁理）12. 若，则下列不等式恒成立的是
A． B．
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C． D．
【解析】验证A，当，故排除A；验证B，当，
，而，故排除B；
验证C，令，显然恒成立
所以当，，所以，为增函数，
所以，恒成立，故选C；验证D，令
，
令，解得，所以当时，，显然不恒成立，故选C.
通过渐近线转化
设函数(常数)，在处取得极小值,(为自然对数的底数)
（1）求在处的切线方程
（2）对任意，求证
大家很容易得到，在处的切线方程为下面看第二问题的不等式证明，我用构造函数法证不出来，又试着分开两个函数出不行，用不等式放缩也不行，正当我一筹莫展时，忽然想到第一问题的切线联系起来，如果左边的函数的图像在切线的上方，右边函数的图像在切线的下方，这样利用不等式的传递性就可以证明了，心里非常高兴，马上付诸行动。令
,,递增,，递增,，故.
再令,
,,
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令则，故
,,
,,
,综上可知
设函数，其中.（1）若，求在的最小值；（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.
解析：（1）由题意知，的定义域为，
时，由，得（舍去），
当时，，当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以；
（2）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，
设，则，解之得；
（3）对于函数，令函数，
则，，
所以函数在上单调递增，又时，恒有，
，则有恒成立.
显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立.
已知函数（其中为常数）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2） 当时，设函数的3个极值点为，且.
证明：.
解:(Ⅰ)