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第二章一维势场中的粒子
在继续阐述量子力学基本原理之前,先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四:
(1)有助于具体理解已学过的基本原理;
(2)有助于进一步阐明其他基本原理;
(4)一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
§1 一维无限深势阱
§2 线性谐振子
§3 一维势散射问题
(3)处理一维问题,数学简单,从而能对结果进行细致讨论,量子 体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来;
§1 一维无限深势阱
(一)一维运动
(二)一维无限深势阱
(三)宇称
(四)讨论
(一) 一维运动
所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成:
V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)
形式,则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
令
ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)
E = Ex + Ey + Ez
于是S-方程化为三个常微分方程:
当粒子在势场 V(x,y,z)
中运动时,其
Schrodinger 方程为:
其中
(二)一维无限深势阱
求解 S —方程分四步:
(1)列出各势域的一维S—方程
(2)解方程
(3)使用波函数标准条件定解
(4)定归一化系数
-a 0 a
V(x)
I
II
III
(1)列出各势域的 S —方程
方程可
简化为:
-a 0 a
V(x)
I
II
III
势V(x)分为三个区域,
用 I 、II 和 III
表示,
其上的波函数分别为
ψI(x),ψII(x) 和
ψIII (x)。则方程为:
2
2
(3)使用波函数标准条件
从物理考虑,粒子不能透过无穷高的势壁。
根据波函数的统计解释,要求在阱壁上和阱壁
外波函数为零,特别是
ψ(-a) = ψ(a) = 0。
-a 0 a
V(x)
I
II
III


1。单值,成立;
2。有限:当x 
- ∞,
ψ有限条件要求
C2=0。
使用标准条件 3。连续:
2)波函数导数连续:
在边界 x = -a,势有无穷跳跃,波函数微商不连续。这是因为:
若ψI(-a)’= ψII(-a)’, 则有,0 = A αcos(-αa + δ)
与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾,二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
1)波函数连续:
-a 0 a
V(x)
I
II
III
(1)+(2)
(2)-(1)
两种情况:
由(4)式
讨论
状态不存在
描写同一状态
所以 n 只取正整数,即
于是:
或