高等数学北大二隐函数存在定理PPT课件.pptx

本节讨论 :
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
当 C < 0 时, 能确定隐函数;
当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时,
研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
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1. 一个方程的情况
定理1
设 在一点 :
则在 的某个邻域 内存在一个
函数y=f(x) , 使得 且
并且 内有连续的导函数
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定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
两边对 x 求导
在
的某邻域内
则
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例1. 验证方程
在点(0,0)某邻域
可确定一个单值可导隐函数
解 令
连续 ,
由 定理1 可知,
①
导的隐函数
则
②
③
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
且
并求
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定理2
设 在点 的某邻域内有连续的偏导数, 且
且 有连续偏导数:
则在点 的某个邻域内,方程
唯一确定一个隐函数 满足
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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两边对 x 求偏导
同样可得
则
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例2
解法1
利用公式.
令
则
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解法2 利用隐函数求导
方程两端关于x求偏导，得
方程两端关于y求偏导，得
说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作x,y的函数：z=z(x,y).
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例3 求由方程
解
设u=x-y,v=y-z.
为了方便起见,引入记号
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2. 方程组的情况
可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?
先介绍线性代数中的克莱姆法则
二元一次方程组
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