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§1 连续性概念
§2 连续函数的性质
§3 初等函数的连续性
第四章 函数的连续性
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§1 连续性概念
自然界中有许多现象, 如气温的变化, 河水的流动, 植
物的生长等等, 都是连续变化着的. 这种现象在函数关系
上的反映, 就是函数的连续性. 例如就气温的变化来看, 当
时间变动很小时, 气温的变化也很小, 这种特点就是所谓
连续性 .
2
解：
1、
y
1
2
0
2
1
x
2、
(1,2)
从图象上看， 在 处“连续”， 在 处“间断”。
2、 ，
1、
引例 求下列函数在
处的函数值和极限，并作出图象。
图象：
图象：
y
x
0
1
1
2
2
(1,2)
3
定义1
一、函数在一点的连续性
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函数的增量（改变量）
当变量 由初值 变到终值 时，称终值与初值
的差 为变量 的增量（改变量），记为 ，
即
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提示:
设x=x0+Dx 则当Dx0 xx0 因此
定义1' 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果
那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续
Dy=f(x0+Dx)-f(x0)
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函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续
左连续与右连续
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例2 讨论函数
在 处的连续性，并作出函数的图象。
解：
（1） 的定义域是 ，故 在
及其附近有定义， ;
（2）
x
0
4
1
2
3
-1
-2
1
2
3
y
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在 处连续。
例3 适当选取 的值，使函数
解：
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二、 函数的间断点及其分类
如果函数 在 处不连续，那么称函数
在 处是间断的，并称点 为函数 的间断点或不连续点。
由函数 在 处连续的定义知，当函数
有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。
（1）
在 近旁有定义，但在 处没有定义。
（2）
虽在 处有定义，但 不存在。
（3）
虽在 处有定义，且 存在，但
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