标准偏差及相对标准偏差公式.doc

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标准偏差
　　数学表达式：
S-标准偏差（%）
n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个
i-物料中某成分的各次测量值，1～n；
标准偏差的使用方法
六个计算标准偏差的公式[1]
标准偏差的理论计算公式
　　设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有　　　　σ1 = li − X
σ2 = l2 − X
　　……
σn = ln − X
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　　我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
（1）
　　由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
　　由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
　　于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ , 即
　　设一组等精度测量值为l1、l2、……ln
　　则　
　　　　……
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　　通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
　　将上式代入式(1)有
　　　(2)
　　式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
　　它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
　　应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
　　(2')
　　在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有
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　　于是, 式(2')可写为
　　(2")
　　按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
标准偏差σ的无偏估计
数理统计中定义S2为样本方差
　　数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为
　　(3)
　　令
　　则
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