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第13章 格林函数法
数学物理方程的定解问题 实质上反映 u(x,t) 与产生该场的源
f(x’t)之间的关系。
如：达朗贝尔方程反映的是时变电磁场与电荷电流分布的关系
热传导方程反映的是温度场与热源之间的关系
泊松方程反映的是静电场与电荷分布之间的关系
这些场源都可以看成点源的叠加，因此如果知道一个点源的场，
就可以利用叠加原理求出在同样边界条件下任意源的场。
这种求解数学物理方程的方法称为格林函数法，在一定边界条件
下点源的场称为格林函数。
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格林函数法在稳定场问题中的应用
本节首先给出格林函数的定义，然后用镜像法和傅里
叶变换法求出泊松方程在几个典型区域的第一类边值问题
的格林函数；其次，导出格林公式，证明格林函数的对称
性；最后，用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
泊松方程的格林函数
在静电场中经常遇到泊松方程的边值问题,它的三类边
值问题可统一表示为
⎧ 1
∇=−2u()xxρ () ()
⎪ ε f
⎪ 0
⎨ αβ ϕ
⎡⎤∂u(x)
⎪ +=u()xx () ()
⎪⎢⎥
⎩⎣⎦∂n S
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⎡⎤∂u(x)
⎢⎥αβ+=u(xx ) ϕ ( ) ()
⎣⎦∂n S
式中u (xx )为静电势，ρε ( )为自由电荷密度， 为真空中的介电常数，
βα f 0
n为边界面外法线的单位矢量。当 ＝０，≠ ０为第一类边界条件，
＝０，≠ ０为第二类边界条件，当 、 均不为零时为第三类边界
ϕ αβ
条件，当（x)=0为齐次边界条件。
格林函数G(,xx ') 是位于x' 的单位正电荷所激发的、满足齐次边αβ
界条件的电势。
泊松方程的三类边值问题对应三类格林函数，它们的定解问题为
⎧ 1
∇=−−2G(,xx ')δ ( x x ') (13 .. 1 3）
⎪ ε
⎪ αβ0
⎨
⎡⎤∂G(,xx ')
⎪ (, ') 0 ()
⎢⎥+=G xx S
⎪⎩⎣⎦∂n'
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但对于第二类齐次边界条件，当研究区域为有限时，这
个定解问题没有解。实际上，方程（）表明V内
∂G(,xx ')
有单位正电荷存在，对于第二类齐次边界条件 |s = 0
∂n'
表示点源产生的场在边界S上电场强度的法向分量
∂G(,xx ')
E =−
n ∂n' 处处为零。显然，方程与边界条件是不相
容的。解决的方法是引入广义格林函数，它满足的方程
及边界条件为
⎧ 11
∇=−−+23G(xx , ')δ ( x x ') ()
⎪ εεV
⎨ 00
∂G(,xx ')
⎪ |= 0 ()
⎩⎪ ∂n'