定积分应用题附答案.doc

定积分应用题附答案.doc《定积分的应用》复习题
填空:
曲线y = lnx,y = lna,y = lnZ?（O < a < b）Ry轴所围成的平面图形的面积
为 A= eydy=b-a
J In « ~
曲线和y=^/^所围成的平面图形的面积是:
计算题：
求由抛物线y2 = 2x与直线2x + y - 2 = 0所围成的图形的面积。
解（1）确定积分变量为y,解方程组
y2 = 2x =1/2 「x, = 2
\ 7 得｛ , \ -
y = —2x + 2 ［，i=］ ［光=_2
即抛物线与直线的交点为（【，1）和（2 , - 2 ）.故所求图形在直线y = 1和
2
y = - 2之间，即积分区间为［—2, 1
（2）在区间［—2, 1］上，任取一小区间为［y , y + dy ］，对应的窄条面积
近似于高为：（1 --y） ］，底为dy的矩形面积，从而得到面积元素
2 2
dA = ［ （ 1 — — y）- — y2 ］ dy
2 2
⑶所求图形面积 A =「2 ［ （I- -y） --y2］dy = ［y - -y2- -
J -2 2 2 4 6 「2 4
求抛物线y = - x2 + 4x - 3及其在点（0, - 3）和（3, 0）处的切线所围 成的图形的面积。
解：由 y = - x2 + 4x - 3 得 y' = -2x + 4, "（0） = 4, "（3） = —2。
抛物线在点（0,-3）处的切线方程为y = 4x-3 ;在点（3, 0）处的切线方程为
_ 3
y=-2x + 6;两切线的交点坐标为（一，3 ）。
2
故面积A
3^[(4x-3)-(x2
+ 4x — 3)] dx + J3 [(-2x + 6)-(子 + 4x - 3)] dx =—
2 4
求由摆线 X = a (t - sint) , y = a( 1- cost)的一拱(0 V f V 2〃)与 横轴所围成的图形的面积。
=3 J (1 — 2 cos t +
l + cos2rx 7 - 2
)dt — 3 7i a2
解：A = Jo y(x)dx - a(l - cos t) - a(l - cos t)dt
求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3cos。及r =l+cosQ
解：两曲线的交点由〈
r = 3cos。
r = 1 + cos。
，解得
0 = -
33 r
0 = --
33 r
TV -I 〃 [
2 | (1 + cos 6>)2 6/6* + JJ | (3 cos 6>)2 dO
fT Z1 c zi 1 + COS 2^ 9 fy 5〃
I (1 + 2 cos 0 -\ )d0 h— I n (1 + cos 20)d0 =—
o 2 2 j 4
计算由摆线 X = a (t - sint ) , y = a (1- cost)的一拱(0 V f V In ), 直线y = 0所围成的图形分别绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。
r27ra 9 r2;r 9 ?
解：V)=Jo C ⑴么二〃# a (1 - cos r)- - a(l - cos t)dt
=7ia3 [ (1 -3