线性分组码编码与译码.ppt

线性分组码编码与译码
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消息
码字
码 许用码字 禁用码字 编码效率
汉明重量 汉明距离 最小汉明距离
纠检错能力
群 子群 分元陪集
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消息
码字
基本概念
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分元陪集划分
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消息
码字
码 许用码字 禁用码字 编码效率
汉明重量 汉明距离 最小汉明距离
纠检错能力
群 子群 分元陪集
域
GF(2)上的矢量空间 子空间
矢量张成的子空间 基底 维数
零化空间
矩阵行空间
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消息
码字
GF(2)
基本概念
线性分组码
长度为n，有2k个码字的码组，当且仅当这2k个码字是GF(2)上n维矢量空间的一个k维子空间时，称为(n,k)线性分组码，简称(n,k)码。
由于k维子空间是在模2加法下运算的，构成了一个加法交换群，所以线性分组码也称为群码。
码率R=k/n， 就是传输效率。
最小汉明距离dmin等于非零码字的最小重量。
系统码
n-k
k
k
n-k
码字信息位与输入信息序列相同，并且与校验位分开
生成矩阵
线性分组码是GF(2)上n维空间中的一个k维子空间，因此它可以由k个线性无关n维矢量 完全确定。由于这组矢量的所有线性组合给出了码C中的任一个码字 ，称生成码C。
C中任何一组基底所构成的矩阵G称作码C的生成矩阵
生成矩阵
对于任何一个给定的信息序列 ，可指定
作为相应的码字。
G矩阵的每一行都是一个码字矢量，分别对应信息位为(10…0),(010…0)…(00…01)时的码字。
生成矩阵
(n,k)分组码实际上就是这k个线性无关的码字矢量张成的k维子空间，这k个矢量组成的矩阵就是生成矩阵。确定(n,k)码的生成矩阵的问题实际上就是确定n重矢量空间中k维子空间的k个线性无关的码字矢量的问题，也就是寻找基底的问题。
(n,k)码的n重矢量空间中可以有多个k维子空间，产生不同的码组，即有不同的基底。
(n,k)码的n-重矢量空间中的一个k维子空间的基底可以有多个，因此可以有不同的生成矩阵G，但都产生相同的码组。
基底的线性组合等效于G的行初等变换，可以产生一组新的基底。利用这一点，可使生成矩阵具有如下“系统形式”，称之为典型生成矩阵。
典型生成矩阵
即：G=[Ik Q ]，Q为k×r矩阵，Ik为k×k单位阵。
非系统码与系统码并无本质区别，它的生成矩阵可
以通过行初等变换转变为系统形式，这个过程叫做
系统化。系统化并不会改变码集，其纠错能力完全
等价。
例 题
设二元（5,3）码，其生成矩阵为
将其化为标准形式？