一元二次方程知识要点计划.docx

一元二次方程知识要点计划.docx一元二次方程
一元二次方程的一般形式 : a≠0 时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的 a、 b、 c； 其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式 .
一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少 .
一元二次方程根的判别式 : 当 ax2+bx+c=0 (a≠0)时， =b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式 .请注意以下等价命题：
＞0
<=> 有两个不等的实根；
=0 <=> 有两个相等的实根；
＜0
<=> 无实根；
Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等） .
一元二次方程的根系关系： 当 ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
b
b 2
4ac
； ( 2 ) x1
x2
b
， x1x 2
c
(1) x 1,2
2a
a
.
a
5．当 ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题：
(以下等价关系要求会用公式 x1
x 2
b ，x1x 2 c
； =b2-4ac 分析，不要求背记 )
a
a
（1）两根互为相反数
b = 0 且Δ≥0
b = 0且Δ≥0；
a
（2）两根互为倒数
c =1 且Δ≥0
a = c且Δ≥0；
a
（3）只有一个零根
c = 0 且
b ≠0
c = 0且 b≠0；
a
a
（4）有两个零根
c = 0 且
b = 0
c = 0且 b=0；
a
a
（5）至少有一个零根
c
c=0；
=0
a
（6）两根异号
c ＜0
a、c 异号；
a
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值
c ＜0 且
b ＞0
a、c 异号且 a、b 异号；
a
a
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值
c
＜0 且
b ＜0
a、c 异号且 a、b 同号；
a
a
（9）有两个正根
c ＞0，
b ＞0 且Δ≥0
a、c 同号， a、b 异号且Δ≥0；
a
a
（10）有两个负根
c ＞0，
b ＜0 且Δ≥ 0
a、c 同号， a、b 同号且Δ≥ 0.
a
a
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 ＜
0 时，二次三项式在实数范围内不能分解 .
ax2+bx+c=a(x-1)(x-x2) 或
b
b2
4ac
bb2
4ac
ax2+bx+c=a x
2a
x
2a
.
7．求一元二次方程的公式：
x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0.
注意：所求出方程的系数应化为整数 .
8．平均增长率问题 --------应用题的类型题之一 （设增长率为 x）：
2
(1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x).
（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年 +第三年=总和.
9．分式方程的解法：
(1) 去分母法
两边同乘最简
（或原方程的每个分母
），值 0.
验增根代入最简公分母
公分母
凑元，设元，
（2）换元法 验增根代入原方程每个 分母，值 0 .
换元 .
二元二次方程组的解法：
（ ）代入消元 法
方程组 中含有一个二元一次方
程
;
1
（ ）分解降次法
方程组 中含有能分解为