函数单调性判定方法计划高中数学.docx

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函数单调性的判定方法
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判断具体函数单调性的方法
定义法
一般地，设 f 为定义在 D 上的函数。若对任何 x1 、 x2 D ，当 x1 x2 时，总有
(1) f ( x1 ) f (x2 ) ，则称 f 为 D 上的增函数，特别当成立严格不等 f (x1 ) f ( x2 ) 时，称 f 为 D 上的严格增
函数；
(2) f (x1) f ( x2 ) , 则称 f 为 D 上的减函数，特别当成立严格不等式 f ( x1) f (x2 )
时，称 f 为 D 上的严格减函数。
利用定义来证明函数 y f ( x) 在给定区间 D 上的单调性的一般步骤：
（ 1）设元，任取 x1 , x2 D 且 x1 x2 ；
2）作差 f (x1 ) f (x2 ) ；
3）变形（普遍是因式分解和配方） ；
（ 4）断号（即判断
f ( x1 )
f ( x2 ) 差与 0 的大小）；
（ 5）定论（即指出函数
f (x)
在给定的区间
D上的单调性） 。
例 1. 用定义证明
)
3
f
x
x
a
a
R
,
) 上是减函数。
(
(
) 在 (
证明：设 x1 , x2
(
,
) ，且 x1
x2 ，则
f ( x1 )
f (x2 )
x13
a ( x23
a)
x23
x13
( x2
x1 )( x12
x22
x1 x2 ).
由于 x12
x22
x1 x2
(x1
x2 ) 2
3 x22
0 ， x2
x1
0
2
4
则 f (x1 )
f ( x2 )
( x2
x1 )( x12
x22
x1 x2 )
0 ，即 f ( x1 )
f ( x2 ) ，所以 f (x) 在
,上是减函数。
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例 2. 用定义证明函数
f ( x)
x
k
0)
在 (0,
) 上的单调性 。
( k
x
证明：设 x1 、 x2 (0,
) ，且 x1
x2 ，则
f ( x1 )
f (x2 )
( x1
k ) ( x2
k )
(x1
x2 ) ( k
k )
x1
x2
x1
x2
(x1
x2 ) k( x2