高中数学不等式知识点.doc

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不等式
知识点归纳:
一、不等式的概念与性质
1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
2、不等式的性质：
〔1〕 ， 〔反对称性〕
〔2〕 ， 〔传递性〕
〔3〕，故 〔移项法那么〕
推论： 〔同向不等式相加〕
〔4〕，
推论1：
推论2：
推论3：
不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进展条件的放宽和加强。
3、常用的根本不等式和重要的不等式
〔1〕 当且仅当
〔2〕
〔3〕，那么
〔4〕
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4、最值定理:设
〔1〕如积
〔2〕如积
即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
5、均值不等式:
两个正数的均值不等式：
三个正数的均值不等是：
n个正数的均值不等式：
6、四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：
1、不等式的传递性：假设a>b,b>c, 那么a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否那么易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c。
2、同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d,
但不能得a—c>b—d。
3、不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否那么不能保证所乘之数或式为正，那么不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正。
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不等式的应用围十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域确实定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
二、不等式的证明方法
〔1〕比拟法：作差比拟：
作差比拟的步骤：
①作差：对要比拟大小的两个数〔或式〕作差。
②变形：对差进展因式分解或配方成几个数〔或式〕的完全平方和。
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：假设两个正数作差比拟有困难，可以通过它们的平方差来比拟大小。
〔2〕综合法：由因导果由的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直到推导出前面的不等式。常用的根本不等式有均值不等式；‚假设，，那么；ƒ假设，那么；④柯西不等式
〔3〕分析法：执果索因根本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法〞证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。
②“分析法〞证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法〞进展表达。
〔4〕反证法：正难那么反直接证明难，就用反证。
〔5〕放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
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