《线性回归分析》.doc

线性回归分析
§ 一元线性回归模型
一、回归分析
变量之间的关系，大体分为两类：一类是函数关系；另一类是统计相关关系，或称随机关系。具有相关关系的变量间虽然不具有确定的函数关系，但可以根据大量的统计数据，找出变量之间在数量变化上的统计规律，这种统计规律称为回归关系。用以近似地描述具有相关关系的变量间的函数关系称为回归函数。有关回归关系的计算方法和理论称为回归分析技术。
回归分析的主要内容是：
根据样本观察值对模型参数进行估计,求得回归方程;
对回归方程、参数估计值进行显著性检验;
利用回归方程进行预测与控制。
二、总体回归方程
1、例子
假设一个地区的人口总体由60户组成。我们要研究每月家庭消费支出Y与每月可支配家庭收入X的关系。也就是说知道了家庭的每月收入，要预测每月消费支出的（总体）平均水平。为此，将这60户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。.
X,每月家庭收入(元)
X
Y
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
每月家庭消费支出
550
600
650
700
750
-
-
650
700
740
800
850
880
-
790
840
900
940
980
-
-
800
930
950
1030
1080
1130
1150
1020
1070
1100
1160
1180
1250
-
1100
1150
1200
1300
1350
1400
-
1200
1360
1400
1440
1450
-
-
1350
1370
1400
1520
1570
1600
1620
1370
1450
1550
1650
1750
1890
-
1500
1520
1750
1780
1800
1850
1910
共计
3250
4620
4450
7070
6780
7500
6850
10430
9660
12110
:,给定X=2400元,.;也就是说,它给出了以X的给定值为条件的条件分布.
X
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
条件
概率
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
-
-
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/5
1/5
1/5
1/5
1/

1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
-
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
-
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
-
-
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
-
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
Y的条件均值
650
770
890
1010
1130
1250
1370
1490
1610
1730
如:
以上述条件均值作散点图,可以看出,Y的条件均值随X增加而增加,散点图表明这些条件均值落在一条有正斜率的直线上,这条直线叫做总体回归直线,具体描述如下.
2、 总体回归方程
描述两个变量X与Y之间的线性关系可用下列数学式子表示。
（）
（）式中一部分是由于X的变化引起Y线性变化的部分，即；另一部分是由其它一切随机因素引起的，记为。（）式确切地表达了变量X与Y之间的密切程度，但密切的程度没有达到由X唯一确定Y的地步。
（）式称为Y对X的一元线性回归理论模型，Y称为被解释变量（因变量），X称为解释变量（自变量），式中是未知参数，称为回归参数，表示随机因素的影响，是一随机变量。一般假定和，在此假定下有，
或，称为一元线性总体回归方程，它是解释变量取给定值时因变量的条件均值或条件期望值的轨迹.
三、样本回归方程