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一元线性回归分析
李新延
华中科技大学
2008-10-13
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例如, 矩形的面积S和矩形的两条边长a和b有关系:
又如著名的欧姆定律指出, 电压V、电阻R与电流I之间有关系:
S=
a
b
S
V=I. R
让我们来看一下有联系的变量之间的关系:
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以上两例的共同点在于,三个量中任意两个已知,其余一个就可以完全确定. 也就是说,变量之间存在着确定性的关系,并且可以用数学表达式来表示这种关系.
然而,在大量的实际问题中,变量之间虽有某种关系,但这种关系很难找到一种精确的表示方法来描述.
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例如,人的身高与体重之间有一定的关系,知道一个人的身高可以大致估计出他的体重,但并不能算出体重的精确值.
其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定的函数关系.
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类似的变量间的关系在大自然和社会中屡见不鲜.
例如,小麦的穗长与穗重的关系;某班学生最后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温度、降雨量与农作物产量间的关系;人的年龄与血压的关系;最大积雪深度与灌溉面积间的关系;家庭收入与支出的关系等等.
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从数量的角度去研究这种关系,是数理统计的一个任务. 这包括通过观察和试验数据去判断变量之间有无关系,对其关系大小作出数量上的估计,对互有关系的变量通过其一去推断和预测其它,等等.
回归分析就是研究相关关系的一种重要的数理统计方法.
这种大量存在的变量间既互相联系但又不是完全确定的关系,称为相关关系.
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回归这一术语是1886年英国生物学家高尔顿在研究遗传现象时引进的.
他发现: 虽然高个子的先代会有高个子的后代, 但后代的增高并不与先代的增高等量. 他称这一现象为“向平常高度的回归”.
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尔后,他的朋友麦尔逊等人搜集了上千个家庭成员的身高数据:
y=+ (英寸)
分析出儿子的身高y和父亲的身高x大致为如下关系:
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这意味着, 若父亲身高超过父亲平均身高6英寸, 那么其儿子的身高大约只超过儿子平均身高3英寸, 可见有向平均值返回的趋势.
诚然, 如今对回归这一概念的理解并不是高尔顿的原意, 但这一名词却一直沿用下来, 成为统计学中最常用的概念之一.
6英寸
3英寸
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在回归分析中, 当变量只有两个时, 称为一元回归分析; 当变量在两个以上时, 称为多元回归分析. 变量间成线性关系, 称线性回归,变量间不具有线性关系, 称非线性回归.
一元回归
多元回归
线性
非线性
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