定积分及其应用习题课.doc

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定积分及其应用习题课
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n,；nl
1 .求极限：lim " !;
n_jpc n
2•设f (x)为［0,a］上的非负单调增加的连续函数，又 X=g(y)是它的反函数，试用定积
a f (a)
分的几何意义证明：o f (x)dx •他g(y)dy = af (a)。
(x)为［0, •：：)上的单调增加的连续函数， f(0)=0, lim f(x)= •::,又x = g(y)
是它的反函数，试用定积分的几何意义说明：对任意的a_0,b_0 ,总有
a b
(f (x)dx + 0 g(y)dy兰ab，并进一步说明等号成立的条件。
b
f(x)dx, 13 f(a)dx。
a
4•设f(x)在［a,b］恒正，f(X).0 , f ”(x) ::： 0 ,将下列积分值按大小顺序排列:
I1 [f(a) —-^(x—a^dx,
妇 b -a
5. 计算1 -sin 2xdx。
1
6. 计算 x| x-a |dx。
X 2 ) 1
7.
8.
f(x) = f0 e* 如dy，求 J0(x—1)2 f(x)dx。
2 2 1
f(x)二 x -x y f (x)d x 2p f (x)d x，求 f (x)。
f (x)
9.
f (x)及其反函数g(x)都可微且有关系式 * g(t)dt =
3
(x2
-8)，求 f (x)。
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(x)使它满足方程 f(xt)dt • f(t-1)dt=x 2x。
I Int
*0 *0
1 f (x)二
dt，其中 x >0，求 f(x) + f (—)。
1 1 +t x
广义积分中值定理： 设f (x)在 a," 连续，g(x)在la,b】可积并且不变号，则在 Qb】上
茴 b m b
至少存在一点 ，使得： f (x)g(x)dx = f ( ) g(x)dx。
a a
：(1)nmA sinxdx=o ；
x
n x
— / x e
(2) lim xdx。
n护 0 1 + ex
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13•设f(x)在［代B］上连续，且 A ：, a ■■ b ：, B，求证：
:
bf(x h)—f(x)dx=f(b)_f(a)
lim
h 0
sin2 x _ c
arcsi nJ t d t + [
0 ■- 0
2
COS x — 一
arccos J t d t = —
J * 4
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(x)在［0, •：：)上连续，且单调增加，试证明对任何 b a 0，皆有
b 1 b a
xf (x)dx [b 0 f (x)dx 一 a 0 f (x)dx]。

(x)在0,a l连续,f(a)= 0,证明
a
f (x)dx <
Ma2
2
，其中M