矩阵的特征值与矩阵的相似对角化.ppt

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二. 矩阵相似对角形
对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ，
使得 为对角阵，就称为把方阵 对角化。
定义:
定理2： 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）
有 个线性无关的特征向量。
(逆命题不成立)
推论1 :若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,
则 可对角化。（与对角阵相似）
说明：如果　的特征方程有重根，此时不一定有　个线性
无关的特征向量，从而矩阵　不一定能对角化．
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推论2:　　阶方阵　相似于对角阵的充要条件是　的
每一个
重特征值对应　个线性无关的特征向量．
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把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且
在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 的特征值是
相应的特征向量是
求矩阵
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解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。
因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。
即存在可逆矩阵 , 使得
其中
求得
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2. 求方阵的幂
例4：设 求
解：
可以对角化。
齐次线性方程组为
当 时，
系数矩阵
令 得基础解系:
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齐次线性方程组为
当 时，
系数矩阵
令 得基础解系:
令
求得
即存在可逆矩阵 , 使得
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3. 求行列式
例5：设 是 阶方阵， 是 的 个特征值，
计算
解：
方法1 求 的全部特征值，
再求乘积即为行列式的值。
设
的特征值是
即
的特征值是
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