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如图, CD 是⊙O 的弦, AB 是直径,且 CD ⊥ AB ,垂足为 P ,求证 PC 2 =PA · PB 如图,P是⊙O的直径 AB 延长线上的一点, PC 切⊙O于点 C,弦 CD ⊥ AB ,垂足为点 E,若, . 求:( 1)⊙O的半径; (2) CD 的长; (3)图中阴影部分的面积. 如图, AB 是⊙O 的直径,点 P在 BA 的延长线上,弦 CD ⊥ AB ,垂足为 E ,且 PC 2 =PE · PO 。(1 )求证: PC 是⊙O 的切线; (2 )若 OE ∶ EA=1 ∶2, PA=6 ,求⊙O 的半径; (3 )求 sin ∠ PCA 的值。(1 )证明:连结 OC , ∵ PC 2 =PE × PO , ∴, 又∵∠ P= ∠P, ∴△ PEC ∽△ PCO , ∵ CD ⊥ AB , ∴∠ PEC=90 °, ∴∠ PCO=90 ° ,即 PC 是⊙O 的切线。(2 )解:半径为 3; (3 )解: sin ∠ PCA= 。如图, AB 是⊙O 的直径, P为 AB 延长线上一点, PC 切⊙O于点 C,过点 C作 CD ⊥ AB ,垂足为 E,并交⊙O于D. (1)求证: =; (2)若点 E是线段 PA 的中点,求∠P的度数. (1)证明:连接 AC 、 BC ,则∠ ACB=90 ° ∵∠ EAC= ∠ BCE=90 °-∠ ACE , ∴ Rt △ AEC ∽ Rt △ CEB , ∴∵ PC 是⊙O的切线, ∴∠ PCB= ∠A,又∠ P= ∠P, ∴△ PCB ∽△ PAC , ∴,即, ∴; (2)【解析】∵E是 AP 的中点,且 CE ⊥ AP , ∴ AC=PC ,∠ A= ∠P; ∵∠ PCB= ∠ A= ∠P, ∴∠ ABC=2 ∠ P=2 ∠A; 在 Rt △ ABC 中, ∠ A+ ∠ ABC=90 °,即 3∠ A=90 °, ∴∠ P= ∠ A=30 °. 如图,点 P是⊙O 的直径 BA 延长线上一点, PC 与⊙O 相切于点 C, CD ⊥ AB ,垂足为 D, 连结 AC 、 BC 、 OC ,那么下列结论中: ① PC 2 =PA · PB ;② PC · OC=OP · CD ;③ OA 2 =OD · OP , 正确的有[] A、0个 B、1个 C、2个 D、3个解: ①∵ PC与⊙O相切于点 C,∴∠ PCB= ∠A,∠ P=∠P ∴△ PBC ∽△ PCA , ∴ PC 2 =PA ? PB ②∵ OC⊥ PC, ∴ PC? OC=OP ? CD ③∵ CD⊥ AB, OC⊥ PC, ∴ OC 2 =OD ? OP, ∵ OA=OC ∴ OA 2 =OD ? OP ④∵2 1 AP? CD=2 1 ? OC? CP+2 1 OA? CD, OA=OC ∴ OA( CP-CD ) =AP ? CD 所以正确的有①,②,③④,共 4个. 故选 D. ①证明△ PBC ∽△ PCA ,即可得到结论,这实际上是圆的切割线定理,正确; ②根据切线的性质定理,得 OC⊥ PC,再根据直角三角形的面积公式即可证明结论,正确; ③根据直角三角形的射影定理,得 OC 2 =OD ? OP,再根据 OA=OC ,即可证明结论,正确; ④根据△ APC 的面积分析,显然错误. 如图, AB