高等代数课件
特征值与特征向量
特征值与特征向量概念
特征值与特征向量性质
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(1)特征值与特征向量定义
设A为n阶方阵，假设存在数 λ 及非零向量x使
Ax = λx
那么称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征
向量.
例如
注：①属于同一特征值的特征向量不惟一；
②一个特征向量不能对应于不同特征值.
所以1为A的一个特征值，
特征值1的特征向量.
(2)相关概念
将特征值与特征向量定义式
Ax = λx
改写为
λx –Ax =0 即 ( λE– A )x = 0
称
(3)特征值与特征向量求法
依据 ( λE– A )x = 0 知：
特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解；
而齐次线性方程组有非零解的充要条件是
系数矩阵的行列式λE–A =0,即A的特征值λ
为特征方程的根.
步骤如下
(i)求出特征方程λE–A =0的全部根 λ1,λ2,…, λn,
即A的全部特征值；
(ii)对每个λi ,求方程组( λiE–A )x = 0 的所有非零
解即为A的对应于特征值λi 的特征向量.
分
析
例1 求矩阵A的特征值和特征向量
解 (i)
(ii)
例2
解(i)
(ii)
例3 求矩阵A的特征值和特征向量
解 (i)
(ii)
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