三角形的四心
第一页，共7页。
一、 外心
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
故O也在AC的中垂线上，
因为O到三顶点的距离相等，
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
因而称为外心．
O
O
第二页，共7页。
二、垂心
A
B
C
A
B
C
A
B
C
三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
D
E
F
证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高，
过点A、B、C分别作对边的平行线
相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′
的中垂线；同理BE、CF也分别为
A′C′、A′B′的中垂线，
由外心定理，它们交于一点，
命题得证．
证明垂心定理
A′
B′
C′
第三页，共7页。
三、重心
A
B
C
A
B
C
A
B
C
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
证明重心定理
E
F
D
G
第四页，共7页。
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
另证:
A
B
C
E
F
D
G
重心
想想看？
第五页，共7页。
四、内心
A
B
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