数列探索性新题型解题技巧.doc

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第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧
【命题趋向】
从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：
1•等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三 类皆有•
2•数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点 •
3•函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用
4•解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型，如与导数和极限相结合等•
因此复习中应注意：
1•数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决 •如通项公式、前n项和公式等•
2•运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 ai、d （或q）,掌握好设未
知数、列出方程、解方程三个环节，常通过 设而不求，整体代入”来简化运算•
3•分类讨论的思想在本章尤为突出 •学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意 q=1和q^l两种情况等等 4•等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外 •如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来
解决等•复习时，要及时总结归纳•
5•深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键
6•解题要善于总结基本数学方法 •如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成
良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果 •
7 •数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用
【考点透视】
1 •理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写 出数列的前几项•
2 •理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式，并能运用公式解答简单的问题 •
3 •理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式，并能运用公式解决简单的问题 •
4•数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位 •高考对本章的考
查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏 •解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的
思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指
数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在 一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着 重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法 •
应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决 •
【例题解析】
考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式
典型例题
例1 • （2006年广东卷）在德国不来梅举行的第 48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆
“正三棱锥”形的展品，其中第 1堆只有1层，就一个球；第 2, 3, 4，…堆最底层（第一层）分别按图 4
所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n堆第n层就放一个乒乓球，以
f （n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=
.f(n)二
（答案用n表示）
思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是
12,3,4,…推测出第n层的球数。
解答过程：显然f 3 =10 •
第n堆最低层（第一层）的乒乓球数， a壬坦旬| +a q也，第n堆的乒乓球数总数相当于 n堆乒乓球
n n 2
的低层数之和，即 f n =印，a2- an =］（12・22 ・n2） 1 丄 一 , 所以：f（n） = —1—―—
' f 2 2 2 6
例2• （2007年湖南卷理） 将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成0,得到如图所示的 0- 下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1
的是第
行；第61行中1的个数是
第1行
1 1
第2行
1 0 1
第3行
1111
第4行
1 0 0 0 1
第5行
110 0 11
思路启迪：计算图形中相应 1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。
解：第1次全行的数都为1的是第2_1=1行，第2次全行的数都为1的是第22 _1=3