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第50讲 枢轴量法
问题:

设总体XXX 的分布有未知参数 ， 1,, n 是一样本.
如何给出 的

（1）置信水平为1  的双侧置信区间？

（2）置信水平为1  的单侧置信下限？
（3）置信水平为1 的单侧置信上限？
2
方法：
(1)找一个随机变量GG, 使 分布已知.
(2)找ab,( 使 PaGb )1.
因为要求 的区间估计，所以G 应该是和样本
XX1,, n的函数 .
ˆˆ
(3)从aGb 解出L U
ˆˆ
(,  L U )就是置信度为 1  的双侧置信区间.
3
设总体Xfx 有概率密度（或分布律） (; )，
其中 是待估的未知参数.
设XX1 , ,n :
GGX (,, X ;)
1 n
为样本和待估参数 的函数，如果G 的分布已知,
不依赖于任何未知参数. 则称G 为枢轴量.
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枢轴量和统计量的区别：
• （1）枢轴量是样本和待估参数的函数，
其分布不依赖于任何未知参数；
• （2）统计量只是样本的函数，
其分布常依赖于未知参数.
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问题:
 
总体XN~(,),,22 是未知参数.

要估计参数. 设XX1,, n 是一样本，
请问下面三个量，
XX
X，，
/ nSn/
哪些是统计量？哪些是枢轴量？
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(1)只有X 是统计量，另两个含有未知参数.
所以不是统计量.
（2(,/),）XN   2 n 分布含有未知参数.
X  
含有除了 以外的其他未知参数.
 / n
X  
只是 和样本的函数,(1) 服从tn 分布.
Sn/
X 
所以只有 是枢轴量.
S / n 7
对枢轴量GPaGb,( 满足  )1, 的 ab 可能有很多，
那到底该选哪个ab, 呢？
man原则：求ab 和 使得区间长度最短；
,对连续型总体,
常取ab 和 满足：
PGX((11 , , Xnn;; ) a ) PGX (( , , X )  b ) /2
ˆˆ
 LU  .
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 
那么LU,  就是 的置信度为1 的双侧置信区间，
 
 L是 的置信度为1  的单侧置信下限，
2
  
 U是 的置信度为 1  的单侧置信上限.
2

注：枢轴量GX(,,1  Xn ; )的构造,通常从 的
点估计ˆ() 如极大似然估计,矩估计等 出发，
根据ˆ 的分布进行改造而得.
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例1：在第44讲例1中提到，《微积分》考试结束
后，随机选出100名学生,计算得他们的平
,
部学生的成绩 XN~(,),, 2 均未知，