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第三章微分中值定理与导数应用
主讲------姜进进
第一节微分中值定理
教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理 •
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用
教学内容：
一、罗尔定理
1. 罗尔定理
罗尔定理 如果函数f(R满足：(1)在闭区间［a,b］上连续.(2)在开区间(a,b)内可
导.(3)在区间端点处的函数值相等， 即f(a) = f(b).那么在(a,b)内至少在一点 (a-「::b)
使得函数f(X!在该点的导数等于零，即 f「)=0 .
证明：由于f(x)在［a,b］上连续，因此必有最大值 m和最小值 m，于是有两种可能的 情形：
(1) M二m,此时f (x)在［a,b］上必然取相同的数值 M，即f(x)二M.
由此得f(x)=，任取：(a, b)，有f ()=o.
(2) M・m，由于f(a)=f(b)，所以m和m至少与一个不等于 f (x)在区间［a,b］端点处 =f(a)(若m=f(a),可类似证明),则必定在(a,b)有一点•使f( )= 此任取［a,b］有f(x) _f「)，从而由费马引理有 f「)=
例1验证罗尔定理对f (x) =x2 -2x -3在区间［-1,3］上的正确性
2
解 显然f(x)=x -2x-3 =(x-3)(x・1)在［-1,3］上连续，在(-1,3)上可导，且
f (-1) = f(3) =0,又 f (x) =2(x-1),取 =1, (1 (-1,3))，有 f ( ) =0.
说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 ，其结论可能不成立；
2 使得定理成立的 £可能多于一个，也可能只有一个 .例如 y =|x ,x迂［-2,2］在
［-221上除f (0)不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间［-2,2］内找不到一点
能使 f (x)二 0 .
二、拉格朗日(Lagrange )中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数f (x)满足(1)在闭区间［a,b］上连续.(2)在开区间(a,b)
(a,b)内至少有一点 (^ :：: b).使得等式
f(b) - f (a) = f'( )(b - a)
2. 拉格朗日中值定理的应用
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拉格朗日中值定理 1)可用于证明等式；2)可用于证明不等式.
X
例 4 证明当 x .0时, :::In(1 x) ：：： x
1 +X
证明：设f(x)=ln(1・x)，则f(x)在［0,x］上满足拉氏定理的条件
于是 f(x) 一 f(0) = f ( )(x —0),(0 ：： ：： x)
1 x
又 f (0) =0, f (x) — ,于是 ln(1 x)二
1+x 1
1 1
而 0 ：：： ::: x,所以 1 ::: 1 ■：■ 1 x ,故 1
1+x 1+©
从而—:: x : x,即 —：：In(1 x) ：： x
1+x 1+x
三、柯西中值定理
柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导,且 F'(x)在(a,b)内每一点 处均不为零，那末在(a,b)内至少有一点(^ ::: b),使等式
f(b)—f(a) _山成立
F(b) -F(a) F ()
例5设函数f (x)在［0,1］上连续，在 (0,1)内可导证明：至少存在一点(0)1)，使
f ( )=2 ［f(1)-f(0)］
证明与分析：结论可变形为f (1) ~f (叭f =丄x/
1-0 2© (X2)' J
2
设g(x)二x ,则f (x), g(x)在［0,1］上满足柯西中值定理的条件
于是至少存在一点
(0,1)，使
f(1)-f(0)
1-0
所以至少存在一点
(0,1)，使
f(1)-f(0)
1-0
即 f ( ) =2 ［f(1) - f(0)］
第二节洛必达法则
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教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求 £型和三型以及o •：：,：： 一 ：：型未定式
■0 O0
的极限的方法；了解o0,r°^o0型极限的求法•
教学重点：洛必达法则.
教学难点：理解洛必达法则失效的情况，o.：：,：：—：:型的极限的求法.
教学内容：
一. o型和二型未定式的解：法洛必达法则
0 ::
定义：若当X