正定二次型与正定矩阵.ppt

正定二次型与正定矩阵
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二次型的标准形不是唯一的。
标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。
限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。
正定二次型和正定矩阵的概念
定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型
它的秩是 r ，有两个实的可逆变换
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正数的个数称为正惯性指数，负数的个数
称为负惯性指数
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对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型，并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。
定义9 设有实二次型
如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定
二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
定理12 实二次型
为正定的充分
必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。
证 设可逆变换
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先证充分性
推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。
再证必要性：用反证法。假设有 ks ≤0 , 则
( 单位坐标向量 ) 时，
这与假设 f 正定矛盾，
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定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即
对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即
这个定理称为霍尔维兹定理。
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注意：对于二次型，除了有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定二次型等概念。
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判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。
一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。
二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。
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例16
判定对称矩阵
正定性。
解 方法一
所以A 是正定的。
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方法二：A 的特征多项式为
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由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。
一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是负定的，则 f 也是负定二次型。
二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数全为负，则 f 是负定的。
由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。
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判别二次型正定的方法
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