特征线理论及应用.ppt

特征线理论及应用
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气体动力学中，有大量问题是用双曲型偏微分方程来描述的，很难得到解析结果，在这种情况下，有两种数值解法：
1）特征线数值解法：求解域用特征线网格进行离散，求各网格结点上的解；气体动力学中，有大量流动问题是用双曲型偏微分方程来描述的，宜于用特征线方法求解。
2）有限差分法：求解域的有限差分网格一般是正交的，根据由偏微分方程构造的差分格式来求各网格结点上的解。
§2. 1 特征线理论
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特征线的数学定义
考虑一个一般的一阶双曲型偏微分方程：
x, y 是两个自变量，u (x,y)是因变量。系数A1、A2及非齐次项F1可以是 x，y，u 的函数。
（1）
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将偏微分方程改写为：
设未知函数u (x,y) 连续，u 的一阶导数可以写作： 【注:u的一阶导数可以不连续】
偏微分方程的特征线定义为：xy平面内具有斜率为 的曲线。
（2）
（3）
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沿着特征线
或：
偏微分方程可化简为：
代入 式
（4）
得到偏微分方程的相容方程
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【是平面上这样一族曲线：沿着此族中任一曲线(a)，可以把待求物理量的一阶偏微分控制方程变换成等价的常微分控制方程(b)，称为原偏微分方程或偏微分方程组的相容方程】
特征线的第一个数学意义：
(a)
(b)
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特征线的第二个数学意义：
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上两式表明：
沿着特征线，分母和分子均为零。
即沿着特征线，
表明：
1）沿特征线因变量的一阶导数具有不定值，可以是不连续的，在这种情况下，特征线是弱间断（第一类间断线）。
2）在气体动力学中，特征线可以是弱扰动波传播的迹线，或者说弱扰动传播的迹线就是特征线。
因此，因变量的一阶导数只允许有弱间断，如果在物理平面上有激波出现，在强间断面上便无法建立因变量的全微分式，也就不能用特征线方法求解。
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例：一阶偏微分方程
的初始条件是
2）沿此特征线的相容方程
3）u (2, 4) 的值
用特征线法确定：
1）通过点(2, 4)的特征线
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解：（1）对照一般形式的双曲型偏微分方程
该方程对应的系数：A1=1, A2=2x, F1=－3x2
则特征线方程为：
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