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高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比拟强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。
类型1
解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:数列满足,,求。
解:由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
,
变式:〔2004,全国I,个理22.本小题总分值14分〕
数列,且a2k=a2k-1+(-1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
〔I〕求a3, a5;
〔II〕求{ an}的通项公式.
解:,
,即
,
…………
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将以上k个式子相加,得
将代入,得
,
。
经检验也适合,
类型2
解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:数列满足,,求。
解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
例:,,求。
解:
。
变式:〔2004,全国I,理15.〕数列{an},满足a1=1,(n≥
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2),那么{an}的通项
解:由,得,用此式减去式,得
当时,,即,又,
,将以上n个式子相乘,得
类型3〔其中p,q均为常数,〕。
解法〔待定系数法〕:把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例:数列中,,,求.
解:,令,那么,,2为公比的等比数列,那么,所以.
变式:〔2006,,文,14〕
在数列中,假设,那么该数列的通项_______________
〔key:〕
变式:〔2006..〕
数列满足
〔I〕求数列的通项公式;
〔II〕假设数列{bn}滿足证明:数列{bn}是等差数列;
〔Ⅲ〕证明:
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〔I〕解:
是以为首项,2为公比的等比数列
即
〔II〕证法一:
①
②
②-①,得
即
③-④,得
即
是等差数列
证法二:同证法一,得
令得
设下面用数学归纳法证明
〔1〕当时,等式成立
〔2〕假设当时,那么
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