六、重积分的应用
第二十一章 重积分
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一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
复连通区域
单连通区域
D
D
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一、立体的体积
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
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例1 计算由曲面
及 xoy 面所围的立体
体积。
解
设立体在
第一卦限上
的体积为 V1。
由立体的对称性，所求立
体体积 V = 4V1 。
立体在第一卦限部分可以看
成是一个曲顶柱体，它的曲
顶为
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立体在第一卦限部分可以看
成是一个曲顶柱体，它的曲
顶为
它的底为
于是，
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所求立体的体积
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例2 求两个圆柱面
所围
的立体在第一卦限部分的体积。
解
所求立体
可以看成
是一个曲
顶柱体，
它的曲顶为
它的底为
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它的底为
它的曲顶为
于是，立体体积为
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例3 求球体
被圆柱面
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。
解
显然，所求立体应在第一、
第四、第五、第八卦限。
而且，四个卦限部分的体积
是对称相等的。
因此，若设第一卦限部分的体
积为 V1 ，则所求立体的体积为
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V1 可以看成是一个曲顶柱体，
它的曲顶为
它的底D 由半圆周
及 x 轴围成。
用极坐标系表示
于是，
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