一元二次方程的解法规律总结计划归纳.docx

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《一元二次方程的解法》规律总结
1．一元二次方程的解法
(1) 直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如
x 2
a (a ≥0) ， ( x a) 2
b (b ≥ 0)
类的一元二次方程． x 2
a ，则 x
a ； (x
a)
2
b ， x
a
b ， x a
b ．对有些一元二次方
程，本身不是上述两种形式，但可以化为 x 2
a
或 (x a) 2
b 的形式，也可以用此法解．
因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可
用此法来解．要清楚使乘积 ab＝ 0 的条件是 a＝0 或 b＝0，使方程 x(x －3) ＝0 的条件是 x＝ 0 或 x
－3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程 x(x －3) ＝0 有两个根，而不是一个根．
配方法：任何一个形如 x 2 bx 的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成
一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解x 2
6x
7 0 时，可
6
2
6
2
把方程化为 x 2 6x
x 2
6x
7
，即 ( x 3)
2
2 ，从而得解．
7 ，
2
2
注意： (1) “方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是
1．
解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．
(3) 公式法：一元二次方程 ax2
bx
c 0 (a ≠0) 的根是由方程的系数 a、b、 c 确定的．在
b
b2
4ac
b 2
x
2a
．用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4ac 0 的前提下，
①先把方程化为一般形式，即
ax2
bx c 0 (a ≠0) 的形式；
②正确地确定方程各项的系数
a、b、c 的值 ( 要注意它们的符号 ) ；
③计算 b 2
4ac 0 时，方程没有实数根，就不必解了 ( 因负数开平方无意义 ) ；
④将 a、 b、 c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．
说明： 象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有
实数根．而根的情况，由 b2
4ac 的值来确定．因此
b2
4ac 叫做一元二次方程 ax2
bx c
0 的
根的判别式．
△>0 方程有两个不相等的实数根．
△＝ 0 方程有两个相等的实数根．
△<0 方程没有实数根．
判别式的应用
不解方程判定方程根的情况；
根据参数系数的性质确定根的范围；
解与根有关的证明题．
3．韦达定理及其应用