春考数学附加题.doc

春考数学附加题.doc四、附加题（本大题满分30分）本大题共有3题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
（本题满分8分）
数列1、已知数列｛a"｝中，％ =1,%心+1 =2"（〃cN*）。
（1）求证数列｛《｝不是等比数列，并求该数列的通项公式；（2）求数列｛《｝的前n项和览。
数列2、
如果数列｛%｝同时满足：（1）各项均不为0, （2）存在常数k,对任意n^*,an+^ =anan+2+k都成立，则 称这样的数列｛%｝为“类等比数列”.由此等比数列必定是“类等比数列”.问：
（1） 各项均不为0的等差数列｛勿｝是否为“类等比数列” ？说明理由.
（2） 若数列｛%｝为“类等比数列”，且ai=a,a2=b（a, b^j常数），是否存在常数人，使得an + an+2 = Aan+l
对任意〃eN*都成立？若存在，求出人；若不存在，请举出反例.
（3） 若数列｛弓｝为"类等比数列”，且a｛=a,a2=b , k^a2 +b2（a, b为常数），求数列｛a"｝的前n项
之和&；数列｛S.｝的前"项之和记为T,,求7；卜3（"N*）.
［解］（1）因为｛如｝为各项均不为0的等差数列，故可设bn =dn + b （d、b为常数） 1分
由=。也+2 + k 得［d（〃 + 1） + =（dn + b）［d（n + 2） + b］ + k 2 分
得k = d'为常数，所以各项均不为0的等差数列｛如｝为“类等比数列”……4分
Z7 2 + _ k
（2）存在常数；1 = ，使。〃+。〃+2=而〃+1 （只给出结论给2分）
ab
缶2 — k
% + 2 2
（或从必要条件入手 ％ + % =人。2 n 人= = = ）
。2 % ab
证明如下:因为 a,、="“+2 +奴所以a； =%,_,"+] +k,n > 2,n e N*
所以 a；+i - 忒=anan+2 - a^a,^,即 a，+ a^a,^ = anan+2 + a；,. 6 分
由于？ 0,此等式两边同除以anan+l,得8分
所以 % +% = + a,.]=…=S +4?3
an+l an a2 '
即当 n e N* 都有 an + a,., = a^a3 a
b2 -k
因为 Q] = Q,= b, Q〃+]=。〃。花+2 +「，所以。3 =
b2-
『如-k
ab
Q H
所以
Q
b
* a1 -\-b2 —k
所以对任意neN都有+。〃+2 =如〃+i，此时九=£L-±£—- 10分
ab
2 2 2
但 =。1。3 +化=。1。3 +。1 +。2 =>。1(。1 +%) = 0 A。1 +。3 = 0—11 分
=。〃一1+。〃+1 an+l — an
ax + 向
%
=° n a"+ o„+2
=0
均为公比为-1的等比数列12分
n-1
a(T) 2 为奇数b(-iy~',n为偶数
14分&
n = 4k-3 *
(EN*)
a+b, n = 4k — 2n = 4^-1
16分
T4k_3 = T,k — S〈k — Sgi — Snc = 2(a +b)k —Q — b — (a+b') — 2(a + b)(k —1) + a 18 分
数列3、
数列