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新双因素方差分析
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双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时，
性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性
能的变化就特别显著。
统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的
影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析
中，把它当成一个新因素来处理。
我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的
问题，用正交试验法比较方便。
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无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平，记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1，2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测值Xij，得双因素无重复实验表
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双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 A
因素 B
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无交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型
基本假设（1） 相互独立；
（2） ，（方差齐性）。
其中
所有期望值的总平均
水平Ai对试验结果的效应
水平Bj对试验结果的效应
试验误差
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特性：
水平Ai对试验结果的效应
水平Bj对试验结果的效应
试验误差
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
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总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
可分解为：
称为因素A的离差平方和，
反映因素 A 对试验指标的影响。
称为因素B的离差平方和，
反映因素 B 对试验指标的影响。
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
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可推得：
将 的自由度分别记作
，则
若假设 成立，则：
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对给定的检验水平 ，
F 右侧检验
时，
当
时，
当
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
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双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源
因素A
总和
平方和
自由度
均方和
F 值
F 值临介值
因素B
误差
注意
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。
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