中考数学 圆的切线证明方法.doc

中考数学_圆的切线证明方法.doc专题
的切线证明
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线•在我们所学的知识范围内 证明圆的沏线常用的方法有：
一、若直线1过00上某一点A,证明1是00的切线, 只需连0A,证明0A丄1就行了，简称“连半径，证垂直”, 难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，AB=AC, AB是00的直径，00交BC于D, DM丄AC于M,求证：DM与00相切.
证明一：连结0D.
VAB=AC,
・•・ ZB=rZC.
V0B=0D,
AZ1=ZB.
AZ1=ZC.
・・・0D〃AC・
•・・DM丄AC,
・・・DM丄0D・
・・・DM与OO相切
证明二：连结OD, AD.
•・・AB是。0的直径, ・・・AD丄BC・ 又TAB二AC… .\Z1=Z2.
•・・DM丄AC,
・•・ Z2+Z4=90°
VOA=OD,
AZ1=Z3.
・•・ Z3+Z4 二 90°.
即OD丄DM.
・・・DM是OO的切线
例2如图，已知：AB是00的直径，点C在00上，且ZCAB=30°, BD=0B, D在AB的延长线上.
求证：DC是的切线
证明：连结OC、BC.
V0A=0C,
.••ZA=Z1=Z3O°. .•.ZBOC=ZA+Z1=60°. 又 V0C=0B, AA0BC是等边三角形. /.OB=BC.
VOB=BD,
.-.OB=BC=BD.
.•.OC 丄 CD.
.•.DC是OO的切线.
例3如图，AB是00的直径，CD丄AB,且0A2=0D • OP.
求证：PC是00的切线.
证明：连结0C
•.•OA=OD • OP, OA=OC,
A0C2=0D • OP,
PC OP
又 VZ^Zl,
AAOCP^AODC.
ZOCP=ZODC.
TCD 丄 AB,
:.Z0CP=90°.
...PC是oo的切线.
二、若直线1与00没有已知的公共点，又要证明1是 。0的切线，只需作0A丄1, A为垂足，证明0A是的 半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例4如图，AB=AC, D为BC中点，OD与AB切于E点.
求证：AC与(DD相切.
证明一：连结DE,作DF丄AC, F是垂足.
TAB是。D的切线，
.•.DE 丄 AB.
TDF 丄 AC,
:.ZDEB=ZDFC=90°.
VAB=AC,
ZB=ZC.
又 VBD=CD,
/.ABDE^ACDF (AAS)
.•.DF=DE.
.•.F 在 ©D±.
.•.AC是。D的切线
证明二：连结DE, AD,作DF丄AC, F是垂足.
TAB与OD相切，
.•.DE 丄 AB.
VAB=AC, BD=CD,
.*.Z1=Z2.
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