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函数的连续性
1．函数的连续性
【知识点的认识】
1．函数的连续性．
一般地，函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足下面三个条件：
（1）函数f（x）在点x＝x0处有定义；
（2）limx→x0f（x）存在；
（3）limx→x0f（x）＝f（x0）．如果函数y＝f（x）在点x＝x0处及其附近有定义，而且limx→x0f（x）＝f（x0），就说函数f（x）在点x0处连续．
2．如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大值和最小值．
3．若f（x）、g（x）都在点x0处连续，则f（x）±g（x），f（x）•g（x），f(x)g(x)（g（x）≠0）也在点x0处连续．若u（x）在点x0处连续，且f（u）在u0＝u（x0）处连续，则复合函数f[u（x）]在点x0处也连续．
【解题方法点拨】
1．函数f（x）在点x0处连续与f（x）在点x0处有极限的联系与区别：
其联系是：f（x）在点x0处连续是依据f（x）在点x0处的极限来定义的，它要求limx→x0f（x）存在．
其区别是：函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强．首先，f（x）在点x0处有极限，对于点x0而言，x0可以属于f（x）的定义域，也可以不属于f（x）的定义域，即与f（x0）是否有意义无关，而f（x）在点x0处连续，要求f（x）在点x0及其附近都有定义；其次，f（x）在点x0处的极限（值）与f（x）在点x0处的函数值f（x0）可以无关，而f（x）在点x0处连续，要求f（x）在点x0处的极限（值）等于它在这一点的函数值f（x0）．我们通常说“连续必有极限，有极限未必连续”，正是针对上述事实而言的．
2．函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件：
函数f（x）在点x＝x0处有定义；
函数f（x）在点x＝x0处有极限；
函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值，即limx→x0f（x）＝f（x0）．
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这三个条件缺一不可，是我们判断函数在一点处是否连续的重要工具．