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在单缝衍射实验中用最小二乘法进行数据处理摘要:在夫琅禾费单缝衍射实验中,提出了用最小二乘法对测量到的衍射图像相对光强分布进行二次曲线拟合,并由拟合得到的数学表达式确定衍射条纹的精确位置。通过用最小二乘法与非最小二乘法对同一测量数据的处理结果进行比较,得到使用最小二乘法处理数据,可明显提高单缝衍射测量光波波长的精度。关键词:最小二乘法;曲线拟合;单缝衍射;波长一、引言当光在传播过程中经过障碍物, 如不透明物体的边缘、小孔、细线、狭缝等时, 一部分光会传播到几何阴影中去, 产生衍射现象。如果障碍物的尺寸与波长相近, 那么, 这样的衍射现象就比较容易观察到。(如图 1)图1 单缝衍射有两种: 一种是菲涅耳衍射, 单缝距光源和接收屏均为有限远或者说入射波和衍射波都不都是球面波; 另一种是夫琅和费衍射, 单缝距光源和接收屏均为无限远或者相当于无限远,即入射波和衍射波都可看作是平面波。光波波长有多种实验测量方法, 如利用双棱镜干涉实验、迈克耳孙干涉仪、光栅衍射等方法。测量单缝衍射的相对光强分布是大学物理实验中的一个基本实验, 由于实验中衍射暗条纹的中心位置用传统的方法测量时误差较大, 因而光波波长通常不用单缝衍射法进行测量。本文在测量单缝衍射相对光强分布的实验基础上, 通过运用最小二乘法对测量数据进行处理, 获得了衍射暗条纹中心的精确位置, 从而大大提高了单缝衍射法测量光波波长的精度。二、实验原理测量单缝衍射相对光强分布的原理图如图 2 所示。在用散射角极小的激光器产生激光束,通过一条很细的狭缝( ~ 毫米宽) ,在狭缝后大于 米的地方放上观察屏,就可看到衍射条纹, 它实际上就是夫琅和费衍射条纹。当在观察屏位置处放上硅光电池和读数显微镜装置, 与光点检流计相连的硅光电池可在垂直于衍射条纹的方向移动, 那么光点检流计所显示出来的硅光电池的大小就与落在硅光电池上的光强成正比。观察屏上衍射图像的光强分布为[1] I{ x}=I 0{ sin u /u} 2 (1) 式中 u ≈π xd/D λ,I0 为零级明纹中心光强,λ为激光波长,D 为狭缝到观察屏距离,d 为狭缝宽度,x 为屏上条纹位置坐标,设x 01和x 02 分别为中央明纹两侧两条一级衍射暗纹的位置坐标, 则屏上中央明纹宽度Δx0=x 02-x 01,且λ=Δx0 d/2D (2) 由式(2) 可知, 由于测量系统 D= 2000 mm,ΔD≤ 2mm 图2 实验装置简图因此对给定狭缝, 用图 2 所示的衍射法测量光波波长时, 问题主要集中在如何提高Δ x 0(即 x 01和 x 02) 的测量精度上。 3 衍射条纹强度曲线的最小二乘法拟合把正弦函数的幂级数展开式 sin u= u- u/ 6+ u/ 120 -…+ ( -1 )· u /[1× 2× 3×…×( 2 n +1)]+ …?(3) 代入式(1 ) 化简得衍射条纹的强度分布函数为 I{x} = I 0[1–(π d/D λ) x/3 +(π d/D λ) x/ 45+…]?(4) 由式(4 ) 可知, 衍射条纹的强度分布曲线在衍射条纹中的一段, 如暗条纹中心附近与抛物线的形状相似, 因此可用一个二阶多项式: f (x) = a 0+ a 1x+ a 2x 2 (5) 对式(4 ) 所表示的同一段衍射条纹的强度分布曲线进行拟