圆锥曲线训练题目.docx

圆锥曲线训练题目.docx（1）若椭圆的
19.（本小题满分14分）已知直线y = -x +1与椭圆二+ 土 = l（a〉b〉O）相交于A、B两点. a~ b~
73
离心率为 焦距为2,求线段AB的长；
3
（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F”求AABFi的面积。
解（1） •
..e = ¥，2c = 2,即T
?. a =
= 71,贝\\b = y]a2-c2 =V2 （3 分）
2 2
椭圆的方程为—+ ^-1 （4分）
3 2
联立<
（2 2
3 2 —消去y得:5.『—6x_3 = 0
（5分）
y = —工 +1
（8分）
贝“Xi + %2 = — , -^1-^2 = 一 E
•'•I AB 1= J（X] - =2）~ + （＞1 - 一2）~ = J[l +（-1）-] J（X] +心）--4.”2
（10 分）
（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为氏（-1, 0）,直 线AB的方程为x+y-1=0,
I-1-0-1I r-
所以点Fi到直线AB的距离d= . =V2, （12分）
Vi2+i2
又|AB|= —, .♦.△ABFi 的面积 S=-l AB I —.72=^^ （14 分）
5 2 2 5 5
1.（本小题满分14分）
已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4,离心率为丑. 2
（I） 求椭圆E的标准方程；
（II ）已知点A（0,1）和直线/： y = x + m ,线段A8是椭圆E的一条弦且直线/垂直平 分弦AB,求实数m的值.
子
解：（I ） —+/=!；
4
（II） 由条件可得直线曲的方程为y = -x+ ，有
y = -x + l 28 3
< / ^>5x -8x = 0^> xB =- , yB = -xB +1 =—-.
——+y =1 5 5
〔4
4 1
设弦AB的中点为则由中点坐标公式得知=；，由此及点肱在直线/得
4 3
—=—-m => m =——・ 5 5 5
19.(本题满分14分)
已知圆 Q :(x-4)2 + y2 =1,圆 C2 :x2+(y-2)2 =1,圆 Q, C2 关于直线/对称.
求直线/的方程；
直线/上是否存在点Q,使Q点到A(-2扼,0)点的距离减去Q点到3(2 Ji,0)点的距离的差为4,如果存 在求出Q点坐标，如果不存在说明理由.
解：(1)因为圆Ci，。?关于直线/对称，
圆G的圆心G坐标为(4,0),圆。2的圆心坐标为(°，2)， 2分
显然宜线/是线段的中垂线， 3分
线段中点坐标是(2,1)，的斜率是k = ~ = —~ , 5分
4" 0 2
所以直线/的方程是y-l = --(x-2)f即y = 2x-3. ……6分
k
(2)假设这样的Q点存在，因为Q点到A(—2扼,0)点的距离减去Q点到5(2^2,0)点的距离的差为4 ,
所以Q点在以A(-2V2,0)和3(2很,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，
x2 v2
即Q点在曲线 =1 (xZ2)上， 10分
~ 4 4
y = 2x-3
又Q点在直线/上，Q点的坐标是方程组］工2 y2 的解， 12分
〔4 4
- + 13 = 0, A = 122 -4x3xl3<0 ,方程组无解，
所以点F的轨迹上是不存在满足条件的点Q. ……14分
18.(本小题满分14分)
抛物线/ = 2px的准线的方程为x = -2 ,该抛物线上的每个点到准线x = -2的距离都与到定点N的距离相等, 圆N是以N为圆心，同时与直线« : y = x和匕：J7 = 一x相切的圆，
(I )求定点N的坐标；
(II)是否存在一条直线1同时满足下列条件：
/分别与直线，和A交于A、B两点，旦AB中点为E(4,l)；
/被圆N截得的弦长为2.
解(1)因为抛物线y2=lpx的准线的方程为x = -2
所以p = 4,根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点， 2分
所以定点N的坐标为(2,0) 3分
假设存在直线/满足两个条件，显然/斜率存在， 4分
设/的方程为y — l = R(x _ 4),化？ ±1) 5分
以N为圆心，同时与直线y = : y = -x相切的圆N的半径为M，----6分
方法1：因为/被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1, ——7分
2S1 4
即d= I 1=1,解得k=0或一， 8分
717F 3
当*=0时，显然不合AB中点为E(4,l)的条件，矛盾！ 9分
4
当*=§时，/的方程为4x-3y-13 = 0 10分