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平均值不等式的证明
湖南省张家界市永定区永定小学 覃文周整理
1、设 ai (i=1,2,
…,n)为正数，求证：n (az+…+an) 一 …an •••(1)
等号当且仅当ai=a2=— = an时成立
证明：由（得：2®i+a2fO忑。即当n=2时（1）式成立。
假设当 n=k 时(1)式成立，即 1 ( ai+$+••• + ak) - \ aia2 ak。则当 n=k+1 时
k
1
令k 1 (a1+a2+…+ak+ak1) =a，于是有:
1 1 1 1
a = [ a〔 +a?+…+ 比 +ak 1 + (k-1 ) a ]= [ - ( a〔 +a2 + …+ ak )+■.;( ak 1+(k-1 ) a )]
2 k 2 k k
_ 2(ka1a2 ak
+kak1akJ)
-2：a1a2 ak ak 1ak_1
2k k J
a a© aka^a
即 ^-a1a^ akak1
土 ( az*…+ak+a「1)
k{a1a2 akak 1
1 / 1
1 / 1
即当n=k+1时（1）式成立。
对任意自然数n, （1）式成立。
由证明过程不难得知等号成立的充分必要条件是
1 / 1
1 / 1
a〔 = a2 =•…=an。
1 / 1
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