用解排列技巧
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解排列问题的常用技巧
解排列问题:首先必须认真审题, 明确问题是否是排列问题;其次是抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答;同时,还要注意讲究一些基本策略和方法技巧, 使一些看似复杂的问题迎刃而解。
下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。
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总的原则—合理分类和准确分步
解排列问题,应按元素的性质进行分类,事情发生的连续过程应分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
分析:先安排甲,按照要求对其进行分类,分两类:
根据分步及分类计数原理,不同的站法共有
示例1. 今有6个同学和2个老师排成一排照相,2个老师站中间,
学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法?
1)若甲在排尾上,则剩下的5人可自由安排,有 种方法.
2) 若甲在第2、3、6、7位, 则排法有 种,第1位的排法有 种, 第2、3、6、7位的排法有 种,根据分步计数原理,不同的站法有 种。
再安排老师,有2种方法。
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(1)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的五位偶数?
个位数为零:
个位数为2或4:
所以
练 习 一下
(2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数?
分类:后两位数字为5或0:
个位数为0:
个位数为5:
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(3)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数?
分类:
(4)31250是由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数?
方法一:(排除法)
方法二:(直接法)
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(一)特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。
例2 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字
的三位数,其中偶数共有( )
分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数, 又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类;
0排在末尾时,有 个;
0不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排十位有 个;
由分类计数原理,共有偶数 30 个.
B
解题技巧
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例3 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复
数字的三位数,其中1不在个位的数共有_______种。
(二)总体淘汰法(间接法)
对于含有否定词语的问题,还可以从总体中把不符合要求的减去,此时应注意既不能多减又不能少减。
分析: 五个数组成三位数的全排列有 个,0排在首位的
有 个 ,1排在末尾的有 ,减掉这两种不合条件的排
法数,再加回百位为0同时个位为1的排列数 (为什么?)
故共有 种。
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(1)五人从左到右站成一排,其中甲不站排头,乙不站第2个位置,那么不同的站法有( )
直接
练 习一下
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(2)0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是4的五位数?
(3)用间接法解例1“6个同学和2个老师排成一排照相, 2个老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法?”
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1)特殊元素、特殊位置问题
例3:用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的
1)五位数; 2)六位偶数; 3)大于213045的自然数
1)解法(1)位置分析法:首位是特殊位置,0不能排,有5种排法,,其余4个位置有A45种排法,由乘法原理知共有: 5·A45=5·5·4·3·2=600种.
解法(2)元素分析法:0是特殊元素,可先考虑,第一类是五位数中不含0有A55个,第二类五位数中含0,则第一步先排0有4种排法,第二步有A45种排法,由加法原理和乘法原理知共有 A55+4·A45=600种.
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