相似矩阵课后微改.ppt

相似矩阵课后微改
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讲座通知
12月15日(本周二)晚上6:30在教三205举办几何与代数讲座，欢迎参加 .
上机时间地点通知
(本周六) 下午2:00到3:30
五楼一到四号机房
题目本周四上传至课程中心
答疑通知
从本周开始每周五上午一至四节课
地点：教八400，位于教八四楼西侧
楼梯口
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第5章 特征值与特征向量
第1节
特征值与特征向量（回顾）
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§ 方阵的特征值和特征向量
特征值, 特征向量的概念
设A是n阶方阵, 若
Aη = 0η (η ≠),
则称0为A的特征值, 称η为A的对应于0
的特征向量.
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求方阵A的特征值和特征向量的一般步骤：
求解特征方程|E–A|=0的根0
求解(0 E–A)x = ( 或(A-0 E)x = )的非零解 (只需求出它的一个基础解系η1 , η2 , …, ηs)
η1 , η2 , …, ηs 即为A对应于特征值0的特征向量
第5章 特征值与特征向量
§
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一个上(下)三角矩阵的特征值就是其主对角元素。
特别地，一个对角矩阵的特征值就是其主对角元素。
第5章 特征值与特征向量
§
k是A的一个特征值
|kE-A|=0
kE-A不可逆
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二. 特征值的性质
.
设n阶方阵A=(aij)n×n , 则
|E–A| 是n次多项式, 其n次项的系数为1;
|E–A| 的n-1次项的系数为
|E–A|的常数项为(-1)n |A| .
-  aii ;
n
i =1
称 为矩阵A的迹,记为迹(A), 或 tr(A).
 aii
n
i =1
第5章 特征值与特征向量
§
 i = tr(A) =  aii
n
i =1
n
i =1
 i = |A|.
n
i =1
推论 设矩阵A=(aij)n×n 的特征值是1 , 2 , …, n , 则
,
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(2) 设0是方阵A的一个特征值, f 是一个
多项式, 则f(0)是方阵f(A)的一个特征值.
(3) 若A是一个方阵, f是多项式使 f(A) = O
(这时称f为A的一个化零多项式), 则 A
的任一特征值 0必满足f(0) = 0.
注: A的化零多项式的根未必都是A的特征值.
例如f(x) = x21,
A1 =
1
0
0
1
,
A2 =
1
0
0
1
,
A3 =
0
1
1
0
.
性质(1)设0是可逆矩阵A的一个特征值, 则
0 ≠0，且0-1 是A-1的特征值.
第5章 特征值与特征向量
§
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例 5 设A是3 阶方阵，E – A , E+A , 2E-A不可逆. A* 是A的伴随矩阵. f(x)=x2 +x + f(A*)的迹和行列式.
第一步 求出A*的特征值；
第二步 求出f(A*)的特征值.
()
第5章 特征值与特征向量
§
解：
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第5章 特征值与特征向量
第2节
相似矩阵
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