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竖直平面内的圆周运动专题
一、竖直平面内的圆周运动的特点
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，其合外力一般不指向圆心，它产生两个方向的效果：
因此变速圆周运动的合外力不等于向心力， 只是在半径方向的分力 F 1 提供向心力．但在最高点和最低点时合外力沿半
径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态．
二、圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周动物， 其合外力一般不指向圆心， 但在最高点和
最低点时合外力沿半径指向圆心，
全部提供向力， 这类问题经常出现临界状态，
下面对临界
状态进行分析：
1． 没有物体支撑的小球（绳类约束）
A
讨论在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图所示：
v
C
①临界速度 v0 ：小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，
当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知
R
O
mg=m v2
，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为
v0 = gR ，它是小球
R
能过圆周最高点的最小速度．
②当 mg<m v2
，即 v>
gR ，小球能过圆周的最高点，此时绳和轨道分别对小球产生
R
拉力和压力．
③当 mg>m v2
，即 v<
gR ，小球不能过圆周的最高点，小球在达到最高点之前就已
R
经脱离了圆轨道．小球脱离圆周的临界条件是弹力为零．
【例题

1】如图所示，一质量为



的小球，用



长的细线拴住在竖
直面内作圆周运动，求：

（ 1）当小球在圆上最高点速度为

4m/s 时，细线的
拉力是多少？ （ 2）当小球在圆上最低点的速度为

4Γ 2 时，细线的拉力是多
少？（

g=10m/s2）
练 1、把盛水的水桶拴在长为 L 的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水
桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是
(
)

/ 2

D.
0
练 2、用长为 l 的细线拴一个小球使其绕细线的加一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过
圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的
2 倍，已知重力加速度为
g，则球此时的速度
大小为 ___
，角速度大小为 _ _
，加速度大小为 _
__
。
2． 有物体支撑的小球（杆类约束）
v
讨论在竖直平面内做圆周运动的情况，如图所示．
①临界速度 v0 ：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球
杆
在最高点的速度可以为零， 不存在 “掉下来 ”的情况． 小