简单多面体外接球问题总结.docx

简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结
由球的定义确定球心
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点 .
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点 .
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点 .
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到 .
⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心 .
2．构造长方体或正方体确定球心
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥 .
⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥 .
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体 .
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体 .
由性质确定球心
利用球心 O 与截面圆圆心 O1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质， 确
定球心 .
二：常见几何体的外接球小结
1、设正方体的棱长为 a ，求（ 1）内切球半径；（ 2）外接球半径；（ 3）与棱相切的球半径。
（ 1）截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得
a
R；
2
（ 2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图
4 作截面图，
圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得
R
2 a 。
2
（ 3）正方体的外接球： 正方体的八个顶点都在球面上，
如图 5，以对角面 AA1 作截面图得， 圆 O
为矩形 AA1C1C 的外接圆，易得 R
A1O
3 a 。
2
图 1
图 2
图 3
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为
a ， O 也是球心）
内切球半径为：
r
6 a
12
外接球半径为：
R
6 a
4
三：常见题型
1. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为
4，体积为
16，则这个球的表面积是
解析： 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 .
补形法
2. 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为

3 ，则其外接球的表面积是

.
解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为

a、b、c ，则就可以
将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其
外接球