高等数学课件--D3_7曲率-课件（PPT演示稿）.ppt

2017-3-5 同济高等数学课件目录上页下页返回结束第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径?? M ?M M ??平面曲线的曲率第三章 2017-3-5 同济高等数学课件目录上页下页返回结束一、弧微分)(xfy?设在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB, 弧长)(xs AM s??x s??MM MM???x MM???MM MM???x yx????? 22)()(MM MM???? 2)(1x y???x sxs x???????0 lim )( 2)(1y ??? x?O )(xfy?A Bab x yx Mxx?? M ?y?1 lim 0??????MM MM x 2017-3-5 同济高等数学课件目录上页下页返回结束则弧长微分公式为 tyxsdd 22??????)(xs 2)(1y ??xysd)(1d 2????或22) (d) (ddyxs??Oxxd? xd x yx Myd T?几何意义:?sdTM; cos d d??s x? sin d d?s y 若曲线由参数方程表示:)( )(tyy txx??的导数数表示对参 t x? 2017-3-5 同济高等数学课件目录上页下页返回结束二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M开始取弧段, 其长为,s?对应切线,??定义弧段上的平均曲率 s?s K??????M M ?s?点M处的曲率 s K s?????? 0 lim sd d??注意:直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为 2017-3-5 R的圆上任意点处的曲率. 解:如图所示,????Rss K s??????? 0 lim R 1?可见: R愈小, 则K愈大, 圆弧弯曲得愈厉害; R愈大, 则K愈小, 圆弧弯曲得愈小. ??s?RM M ??? 2017-3-5 同济高等数学课件目录上页下页返回结束有曲率近似计算公式,1时当???y y ??? tan)2 π2 π(????设 y ?? arctan ?得xyd) arctan (d ???? xy yd1 2?????xysd1d 2???故曲率计算公式为 s Kd d?? 2 3)1( 2y yK?????yK ???又曲率 K 的计算公式)(xfy?二阶可导, 设曲线弧则由 2017-3-5 同济高等数学课件目录上页下页返回结束说明: (1) 若曲线由参数方程?????)( )(tyy txx 给出, 则2 3)1( 2y yK?????(2) 若曲线方程为,)(yx??则 2 3)1( 2x xK????? 2 3)( 22yx yxyxK??????????? 2017-3-5 36 1xlR y?作缓和曲线,处的曲率.)6 ,(,)0,0( 2R llBO 点击图片任意处播放\暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点且 l << R. 其中 R是圆弧弯道的半径, l是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化, 因此铁道的曲率应连续变化. 2017-3-5 同济高等数学课件目录上页下页返回结束O yx 36 1xlR y?作缓和曲线,且 l << .)6 ,(,)0,0( 2R llBO 其中 R是圆弧弯道的半径, l是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点解:,],0[时当lx?R l2 ? 0?xlR y 1???yK ???? xlR 1?显然;0 0??xKR K lx1?? 22 1xlR y???RB 36 1xlR y? l 2017-3-5 ?????tby tax sin cos )π20(??t 在何处曲率最大? 解:故曲率为? ba 2 3) cos sin ( 2222tbta?; sin tax???; cos tby?? tax cos ????tby sin ???? 2 3)( 22yx yxyxK??????????? K最大tbtatf 2222 cos sin )(??最小 2 2 ( ) 2 sin cos 2 cos sin f t a t t b t t ?? ? tba2 sin )( 22??求驻点: