数学实验怎样计算圆周率.doc

数学实验怎样计算圆周率
数学实验怎样计算圆周率
数学实验怎样计算圆周率
怎样计算
姓名:
学号
班级:数学与应用数学4班
实验报告
实验目的:自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值,并学会计算的近似值的方法。
实验环境:Mathematica软件
实验基本理论与方法:
方法一:数值积分法(单位圆的面积就是,只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值)
其具体内容就是:以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系,则单位圆在第一象限内的部分G就是一个扇形,
由曲线()及坐标轴围成,它的面积就是,算出了S的近似值,它的4倍就就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图
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数学实验怎样计算圆周率

图一
扇形G中,作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0,1](也就就是扇形在x轴上的半径)分成n等份(n=20),相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分()。每部分就是一个曲边梯形:它的左方、右方的边界就是相互平行的直线段,类似于梯形的两底;上方边界就是一段曲线,因此称为曲边梯形。如果n很大,每个曲边梯形的上边界可以近似的瞧成直线段,从而将近似的瞧成一个梯形来计算它的面积;梯形的高(也就就是它的宽度)h=1/n,两条底边的长分别就是与,于就是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的与T就可以作为扇形面积S的近似值:
n越大,计算出来的梯形面积之与T就越接近扇形面积S,而4T就越接近的准确值。
方法二:泰勒级数法
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其具体内容就是:利用反正切函数的泰勒级数
计算。
方法三:蒙特卡罗法
其具体内容就是:单位正方形的面积=1,只要能够求出扇形G的面积S在正方形的面积中所占的比例,就能立即得到S,从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值,方法就是在正方形中随机地投入很多点,使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等,瞧其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0,1]内均匀分布的随机数,在Mathematica中语句就是
Random[ ]
产生两个这样的随机数x,y,则以(x,y)为坐标的点就就是单位正方形内的一点P,它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件就是 。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。
实验内容、步骤及其结果分析:
问题1:在方法一中,取n=1000,通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。
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分析:图一中的扇形面积S实际上就就是定积分 。
与有关的定积分很多,比如 的定积分 就比 的定积分更容易计算,更适合用来计算。
梯形公式:设分点,…,将积分区间[a,b]分成n等分,即,。所有的曲边梯形的宽度都就是h=(b-a)/n。记,则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积。将所有这些梯形面积加起来就得到