求通项公式和数列求和的常用方法 - 副本.doc

-1- 求通项公式的常用方法一公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 1 n n n a S S ?? ?( 2) n?,等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列?? na 的前 n 项和为 nS ,并且* 1( ) n n a S n N ? ??,求?? na 的通项公式? 【解析】:?1 n n S a ? ?,? 1 1 1 n n n n n a S S a a ? ? ?? ???,? 112 n n a a ??,又 112 a?, ? 12 nna ? ??? ?? ?. 反思:利用相关数列?? na 与?? nS 的关系: 1 1 a S ?,1 n n n a S S ?? ?( 2) n?与提设条件,建立递推关系,是本题求解的关键. 跟踪训练 1. 已知数列?? na 的前 n 项和 nS ,满足关系?? 1 lg nSn ??( 1, 2 ) n ? ???. 试证数列?? na 是等比数列. 二归纳法:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明其正确性,这种方法叫归纳法. 例二已知数列?? na 中, 11a?,1 2 1( 2) n n a a n ?? ??,求数列?? na 的通项公式. 【解析】:? 11a?,1 2 1( 2) n n a a n ?? ??,? 2 1 2 1 a a ? ? 3?, 3 2 2 1 a a ? ? 7?????猜测 2 1 nna ? ?* ( ) n N ?, 反思:用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练 ?? na 是正数组成的数列, 其前 n 项和为 nS , 并且对于所有自然数 n ,na 与1 的等差中项等于 nS 与1 的等比中项,求数列?? na 的通项公式. 三累加法:利用 1 2 1 1 ( ) ( ) n n n a a a a a a ?? ???????求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如 1 ( ) n n a a f n ?? ?的递推数列通项公式的基本方法( ( ) f n 可求前 n 项和) . 例三已知无穷数列?? na 的的通项公式是 12 nna ? ??? ?? ?, 若数列?? nb 满足 11b?, ( 1) n?, 求数列?? nb 的通项公式. 【解析】:11b?,112 n n n b b ?? ?? ?? ?? ?( 1) n?,? 1 2 1 1 ( ) ( ) n n n b b b b