定积分运用2.ppt

1xo y 0MA? nMB? 1M 2M 1?nM 设A 、B 是曲线弧上的两个端点,在弧上插入分点BMM MMMA nn i???,, ,,, 1 10??并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长|| 1 1??? ni iiMM 的极限存在,则称此极限为曲线弧 AB 、平面曲线弧长的概念 2 设曲线弧为)(xfy?)(bxa??,其中)(xf 在],[ba 上有一阶连续导数xo yab x dx x?取积分变量为x ,在],[ba 上任取小区间],[ dx xx?, 以对应小切线段的长代替小弧段的长? dy 小切线段的长22)()(dy dx?dx y 21 ???弧长元素 dx yds 21 ??? 2dx ys ba????二、直角坐标情形 3 例1 计算曲线2 33 2xy?上相应于x 从a 到b , 2 1xy???dx xds 2)(1 2 1???,1dx x??所求弧长为 dx xs ba???1 ].)1()1 [(3 2 2 32 3ab???? ab 4 例2 计算曲线??dny n x?? 0 sin 的弧长)0(???nx . 解nn xny 1 sin ???, sin n x?dx ys ba???? 21 dx n x n???? 0 sin 1 ntx? ndt t????0 sin 1dt ttttn????????????????? 0 222 cos 2 sin 22 cos 2 sin dt ttn?????????? 02 cos 2 ? 5 曲线弧为,)( )(?????ty tx??)(????t 其中)( ),(tt??在],[??)()(dy dx ds?? 222) )]( ()([dttt??????dttt)()( 22??????弧长.)()( 22dttts?????????三、参数方程情形 6 例 3 求星形线3 23 23 2ayx??)0(?a ?????tay tax 3 3 sin cos )20(???t 根据对称性 14ss????? dtyx?????? 20 224 dttta??? 20 cos sin ?第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长 7 例4 证明正弦线xay sin ?)20(???x 的弧长等于椭圆??????tay tx sin 1 cos 2)20(???t 的周长. 证设正弦线的弧长等于1sdx ys????? 20 211dx xa???? 20 22 cos 1 设椭圆的周长为2s , cos 12 0 22dx xa???? 8????, 20 222 dtyxs??????根据椭圆的对称性知?????? dttats????? 0 22 22 cos 1 sin 2dx xa???? 0 22 cos 12 , 1s????? 0 22 cos 12 9 曲线弧为)(?????)(?rr?其中)(??在],[??上具有连续导数.????????? sin )( cos )(ry rx?)(????? 22)()(dy dx ds???,)()( 22???drr ???弧长.)()( 22?????drrs????四、极坐标情形 10