4-2极限的运算法则.ppt

三、极限的四则运算法则四、复合函数的极限运算法则第四讲(二)极限运算法则第一章三、极限的四则运算法则( p20 ),)( lim ,)( lim 00BxgAxf xxxx????则???)]()([ lim 0xgxf xx)( lim )( lim 00xgxf xxxx???BA??定理若(1)??)]()([ lim 0xgxf xx)( lim )( lim 00xgxf xxxx???BA?(2) 若B≠0 , 则有??)( )( lim 0xg xf xx)( lim )( lim 0 0xg xf xx xx??B A?(3) 证时, )( ???Bxg??,, min 21????取,0 0????xx 则当时,有][ )]()([BAxgxf???])([])([BxgAxf????,22 ??????当(1) 由可知,0???,0,0 21?????使得当,0 10????xx 时,有,2 )( ???Axf ,)( lim ,)( lim 00BxgAxf xxxx????因此???)]()([ lim 0xgxf xx,BA?).( lim )( lim 00xgxf xxxx??? BxgAxf????)()( 200????xx AB xgxf?)()( * (2) AB x Bf x Bf xgxf????)()()()(Bxgxf???)()(AxfB???)(Axf xx??)( lim 0,0??ε使得时,有当 100????xx???Axf)( 0 1???由 AB xgxf xx??)]()([ lim 0 需证: 及定理 ?知, ,0?M 及及Mxf?)( 上有界在某)( )( 0xU xf ?时, 当 100????xx ,0??ε 0 1???Mxf?)( ???Axf)( 有Bxg xx??)( lim 0 又由知,使得当时, 200????xx???Bxg)( ,0 2???,},{ min 21????取则 AB xgxf?)()( Bxgxf???)()(AxfB???)(??????BM 对于上述?> 0, 有???/ 2C 因此??)]()([ lim 0xgxf xx)( lim )( lim 00xgxf xxxx?????????BMC2C2 C22 ??????,?????? 00xx 时, 有当C2/ 令??., max BM C?? AB * (3))0()( )( lim 0???BB Axg xf xx 需证: ??)( )( lim 0xg xf xx ],)( 1)([ lim 0xg xf xx??由于根据( 2),只需证明当时,有 0?B.)( lim 11)( 1 lim 0 0xgBxg xx xx??????Bxg 1)( 1BxgxgB ???)()( 11 知, 由0)( lim 0???Bxg xx,0??? 0???使得当???? 00xx 时, 有ε BBxg2 )()1( 2??(极限的定义) ,2 )()2( Bxg?(函数极限保号性的更强结论) 于是, 2)( 1Bxg ?从而??Bxg 1)( 1BxgxgB ???)()( 11εε BBB ????2 21 2 因此.)( lim 11)( 1 lim 0 0xgBxg xx xx????从而(3) 式成立. 若, lim , lim ByAx nn nn??????则有)( lim )1( nnnyx???nnnyx ?? lim )2(,0)3(时当?BB Ay x n nn??? lim BA??BA?注运算法则, 有相应的结论. 及x→∞时函数极限的四则例如, 对于数列极限, 对于数列极限有以下结论:数列是一种特殊的函数, 故此结论可由定理 直接得出.,)( lim ,)( lim 00BxgAxf xxxx???????)]()([ lim 0xgxf xx??)( lim )( lim 00xgxf xxxx?????? BA???(极限运算的线性性质)若以上运算法则对有限个函数成立. 推论?和μ是常数, 则于是有 nxx nxxxfxf )]( lim [ )]([ lim 00???——幂的极限等于极限的幂求).52( lim 22???xx x 解)52( lim 22???xx x5 lim lim )( lim 2 22 22?????? xxxxx52) lim (2 22????x x 例1 极限运算的线性性质结论: )( lim 110 0n nnxxaxaxa?????? n nnaxaxa?????? 10100 幂的极限等于极限的幂5322 2????