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泰勒公式
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在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
中文名
泰勒公式
外文名
Taylor's formula
提出者
泰勒
提出时间
1712年
应用学科
数学
适用领域范围
数学分析
特    例
麦克劳林级数
公式形式
展开式
泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式(-级数)来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的  次导数)的导数求得。对于正整数n，若函数  在闭区间  上  阶连续可导，且在  上  阶可导。任取  是一定点，则对任意  
成立下式：
其中，  表示  的n阶导数，多项式称为函数  在a处的泰勒展开式，剩余的  是泰勒公式的余项，是  的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项  可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺(Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1）。
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
以上诸多余项事实上很多是等价的。
公式推广
麦克劳林展开
函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若
  在x=0处n阶连续可导，则下式成立：
其中  表示  的n阶导数。
近似表达正弦函数
泰勒中值定理
若  在包含  的某开区间（a，b）内具有直到n+1阶的导数，则当x∈（a，b）时，有其中  是n阶泰勒公式的拉格朗日余项： ， 
多元泰勒公式
对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a,r) 是欧几里得空间RN中的开球，ƒ 是定义在B(a,r) 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这时的泰勒公式为：
对所有
验证推导编辑
我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：
于是：
其中误差α是在Δx→0 即x→x0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式。设函数P(x)满足 ：
于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有：
 ，所以  ；
 ，所以  ；
 ，所以  ；
 ，所以  ；
至此，多项的各项系数都已求出，得：
以上就是函数  的泰勒展开式。接下来就要求误差的具体表达式了。设
  ，令  得到：
进而：
根据柯西中值定理：
其中  ；
继续使用柯西中值定理得到：
其中  ；
连续使用n+1次后