Difference Equations to Differential Equations (55).pdf

1 S K Y R I U S
Pagrindines˙ s ˛avokos
. APIBREŽIMAI˙ IR ŽYMENYS
Daugelis gamtos reiškiniu˛ aprašomi lygtimis, kurios vadinamos matematines˙fizikos
lygtimis. Dažniausiai tai daliniu˛išvestiniu˛lygtys, . lygtys, kuriose nežinomasis yra
keliu˛(ne mažiau kaip dvieju˛)kintamu˛ju˛funkcijos. Ciaˇ daugiausia nagrinesime˙ vienos
lygties su viena nežinom ˛ajafunkcija atveji˛.Ieškom ˛aj˛aargumento x = (x1, . . . , xn) ∈
Rn funkcij ˛ažymesime˙ raide u, o jos dalines išvestines –
2 |α|
∂u ∂ u α∂ u
uxi = , uxixj = , D u = α1 αn ;
∂xi ∂xi∂xj ∂x1 . . . ∂xn
n
cia:ˇα= (α1, . . . , αn) – multiindeksas, |α| = αi, αi – sveikieji neneigiami
iP=1
Funkcijos u gradient ˛air jo moduli˛žymesime˙ taip:
n
2 1/2
ux = (ux , . . . , ux ), |ux| = u .
1 n
X xi

i=1
Lygtis, kuri sieja nepriklausom ˛aji˛kintam ˛aji˛ x, ieškom ˛aj˛afunkcij ˛a u ir jos dalines
išvestines, vadinama daliniu˛išvestiniu˛lygtimi. Daliniu˛išvestiniu˛lygtis vadinama k-
osios eiles˙ lygtimi, jeigu i˛j ˛ai˛einabent viena ieškomos funkcijos k-osios eiles˙ daline˙
išvestine˙ ir nei˛eina aukštesniu˛ eiliu˛ dalines˙ išvestines.˙ Bendru atveju k-osios eiles˙
daliniu˛išvestiniu˛lygti˛galima užrašyti taip:
F (x, δku) = 0; ()
cia:ˇ
∂ku
δ u = u, u , . . . , u , . . . ,
k  x1 xn k 
∂xn
yra vektorius, turintis
(n + k)!
N =
k n! k!
∈ Rn ∈ RNk
koordinaciu˛;ˇ F – argumentu˛ x , p = (p1, . . . , pNk ) funkcija, tenkinanti
s ˛alyg˛a
Nk ∂F (x, p) 2
  =6 0.
X ∂pi
i=Nk−1+1
Daliniu˛išvestiniu˛lygties sprendiniu vadinama bet kokia funkcija u(x), kuri ˛ai˛rašiusi˛
() lygti˛gaunama tapatybe˙ nepriklausomo kintamojo x atžvilgiu.
8 1. PAGRINDINES˙ S ˛AVOKOS
P a s t a b a . Nagrinejamose˙ lygtyse kartais patogu išskirti koki˛nors nepriklauso-
m ˛akintam ˛aji˛(pavyzdžiui, laik ˛aarba temperatur¯ ˛a).Toki˛kintam ˛aji˛žymesime˙ raide t.
Ieškomosios funkcijos u = u(x, t) išvestines t atžvilgiu žymesime˙
∂u ∂2u
u = , u =
t ∂t tt ∂t2
ir .
Šioje kn