高等数学上册 导数的概念 ppt课件.ppt

第二章
微积分学的创始人:
德国数学家 Leibniz
微分学
导数
描述函数变化快慢
微分
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具
(从微观上研究函数)
导数与微分
导数思想最早由法国
数学家 Ferma 在研究
极值问题中提出.
英国数学家 Newton
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一、引例
二、导数的定义
三、导数的几何意义
四、函数的可导性与连续性的关系
五、单侧导数
第一节
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导数的概念
第二章
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
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2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时)
割线 M N 的斜率
切线 MT 的斜率
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两个问题的共性:
瞬时速度
切线斜率
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度
角速度
线密度
电流强度
是速度增量与时间增量之比的极限
是转角增量与时间增量之比的极限
是质量增量与长度增量之比的极限
是电量增量与时间增量之比的极限
变化率问题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点
存在,
并称此极限为
记作:
即
则称函数
若
的某邻域内有定义 ,
在点
处可导,
在点
的导数.
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运动质点的位置函数
在 时刻的瞬时速度
曲线
在 M 点处的切线斜率
说明: 在经济学中,
边际成本率,
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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若上述极限不存在 ,
在点 不可导.
若
也称
在
若函数在开区间 I 内每点都可导,
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作:
注意:
就说函数
就称函数在 I 内可导.
的导数为无穷大 .
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例1. 求函数
(C 为常数) 的导数.
解:
即
例2. 求函数
解:
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说明：
对一般幂函数
( 为常数)
例如，
（以后将证明）
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