高等数学-第七章 微分方程ppt课件.ppt

微分方程
第七章
— 积分问题
— 微分方程问题
推广
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微分方程的基本概念
第一节
微分方程的基本概念
引例
几何问题
物理问题
第七章
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引例1.
一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
①
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1,
因此所求曲线方程为
②
由 ① 得
切线斜率为 2x ,
求该曲线的方程 .
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引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶,
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,
已知
由前一式两次积分, 可得
利用后两式可得
因此所求运动规律为
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 ,
以及制动后行驶了多少路程 .
即求 s = s (t) .
制动时
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常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
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— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
— 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
的阶数相同.
特解
引例2
引例1
通解:
特解:
微分方程的解
— 不含任意常数的解,
定解条件
其图形称为积分曲线.
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例1. 验证函数
是微分方程
的通解,
的特解 .
解:
这说明
是方程的解 .
是两个独立的任意常数,
利用初始条件易得:
故所求特解为
故它是方程的通解.
并求满足初始条件
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求所满足的微分方程 .
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
解: 如图所示,
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即
点 P(x, y) 处的法线方程为
且线段 PQ 被 y 轴平分,
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转化
可分离变量微分方程
第二节
解分离变量方程
可分离变量方程
第七章
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分离变量方程的解法:
设 y＝ (x) 是方程①的解,
两边积分, 得
①
则有恒等式
②
方程①的解满足关系式②。
则有
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),
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