小学奥数（1年级）-数论之余数问题.doc

三教上人（A+版-Applicable Achives）
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教 案
教师：__ 王鑫___ 学生：_ 刘竞琰 上课时间： 学生签字：____________

数论(五) 余数问题

【知识点概述】
一、带余除法的定义及性质：
：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有
a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；
(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
：(以下a,b,c均为自然数)
性质1：余数小于除数
性质2：


性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
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例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数，即2.
【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。
二、数的同余

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )
同余式读作：a同余于b，模m
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，
那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。
例如：（1），因为
（2） ，因为
（3） ，因为
由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为
例如，我们表示a是一个偶数，可以写为,
表示b为一个奇数，可以写为
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我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。

（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。）
性质1：a≡a（mod m） （反身性）
性质2：若a≡b ( mod m ),那么b≡a ( mod m ) （对称性）
性质3：若a≡b ( mod m )，b ≡c( mod m )，那么a≡c ( mod m ) （传递性）
性质4：a≡b ( mod m ),c≡d ( mod m ),那么a±c≡b±d ( mod m ) （可加减性）
性质5：若a≡b ( mod m ) ，c≡d ( mod m ),那么ac≡bd ( mod m ) （可乘性）
性质6：若a≡b ( mod m ) ，那么an≡bn(mod m),（其中n为自然数）
性质7：若ac≡bc ( mod m )，（c，m）＝1,那么a≡b ( mod m )

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9