概率论与数理统计公式大全.doc

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随机变量的数字特征
(1) 一维随
离散型
连续型
机变量的数 字特征
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量，其分 布律为 P( ) = Pk,k=1,2,…,n ,
设X是连续型随机变量，其概率
密度为f(x)，
(要求绝对收敛)
(要求绝对收敛)
函数的期望
Y=g(X)
Y=g(X)
方差
D(X)=E[X-E(X)] 2,
标准差
矩
①对于正整数k，称随机变量 X的k次幕的数学期望为X的 k阶原点矩，记为Vk,即
①对于正整数k，称随机变量X 的k次幕的数学期望为X的k 阶原点矩，记为Vk,即
V k=E(X)= , k =1,2,….
k
V k=E(X)=
②对于正整数k，称随机变量 X与E (X)差的k次幕的数学 期望为X的k阶中心矩，记 为，即
k=1,2,….
②对于正整数k，称随机变量X 与E (X)差的k次幕的数学期 望为X的k阶中心矩，记为， 即
=，k=1,2,
k=1,2,….
切比雪夫不等式
2 设随机变量X具有数学期望E(X)=卩，方差D(X) =6，则 对于任意正数£，有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对概率 的一种估计，它在理论上有重要意义。
(2)期望的 性质
(1) E(C)=C
(2) E(CX)=CE(X)
(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 丫独立；
充要条件：X和丫不相关。
(3)方差的
性质
(1) D(C)=0 ； E(C)=C
(2) D(aX)=a 2D(X) ； E(aX)=aE(X)
(3) D(aX+b)= a 2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+b
(4) D(X)=E(X 2)-E 2(X)
(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和 丫独立；
充要条件：X和丫不相 关。
D(X± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E[(X -E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
(4)常见分 布的期望和 方差
期望
方差
0-1分布
P
二项分布
np
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
止态分布
n
2n
t分布
0
(n>2)
(5)二维随 机变量的数
期望
字特征
函数的期望
方差
协方差
对于随机变量X与丫，称它们的二阶混合中心矩 为X与丫的 协方差或相关矩，记为，即
与记号 相对应，X与丫的方差D(X)与D( 丫)也可分别记为 与。
相关系数
对于随机变量X与丫，如果D (X)>0, D(Y)>0，则称
为X与丫的相关系数，记作(有时可简记为)。